Mathematical properties of nested residues and their application to multi-loop scattering amplitudes

Abstract

[EN]The computation of multi-loop multi-leg scattering amplitudes plays a key role to improve the precision of theoretical predictions for particle physics at high-energy colliders. In this work, we focus on the mathematical properties of the novel integrand-level representation of Feynman integrals, which is based on the Loop-Tree Duality (LTD). We explore the behaviour of the multi-loop iterated residues and explicitly show, by developing a general compact and elegant proof, that contributions associated to displaced poles are cancelled out. The remaining residues, called nested residues as originally introduced in ref. [1], encode the relevant physical information and are naturally mapped onto physical configurations associated to nondisjoint on-shell states. By going further on the mathematical structure of the nested residues, we prove that unphysical singularities vanish, and show how the final expressions can be written by using only causal denominators. In this way, we provide a mathematical proof for the all-loop formulae presented in ref. [2].

[ES]El cálculo de amplitudes de dispersión multibucle y multipata desempeña un papel clave para mejorar la precisión de las predicciones teóricas de la física de partículas en colisionadores de altas energías. En este trabajo nos centramos en las propiedades matemáticas de la novedosa representación de integrales de Feynman a nivel de integrando, basada en la dualidad bucle-árbol (LTD). Exploramos el comportamiento de los residuos iterados multibucle y mostramos explícitamente, mediante el desarrollo de una demostración general, compacta y elegante, que las contribuciones asociadas a polos desplazados se cancelan. Los residuos restantes, denominados residuos anidados tal como se introdujeron originalmente en la ref. [1], codifican la información física relevante y se mapean de forma natural en configuraciones físicas asociadas a estados on-shell no disjuntos. Profundizando en la estructura matemática de los residuos anidados, demostramos que las singularidades no físicas desaparecen y mostramos cómo las expresiones finales pueden escribirse utilizando únicamente denominadores causales. De este modo, proporcionamos una demostración matemática de las fórmulas a todos los órdenes presentadas en la ref. [2].