Cálculo vectorial y tensorial

Abstract

[ES]Este libro recoge los apuntes actualizados de las enseñanzas que formaban parte de la asignatura Ampliación de Matemáticas que impartí en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas de Madrid en los años 80. El objetivo de estos apuntes era proporcionar a los alumnos las definiciones precisas de los conceptos y las propiedades de éstos para poder abordar el cálculo vectorial y tensorial. Una vez realizado este trabajo la realización de cálculos es un trabajo mecánico. Con ello se pretende que se comprendan bien expresiones en los que intervienen la diferenciales y se realicen los cálculos correctamente con conocimiento de su significado. Consideremos un ejemplo: En la mayoría de los libros de física e ingeniería es habitual llamar diferencial de área a una pequeña parte de una superficie y se razona despues con este concepto ambiguo. Lo que aportan las matemáticas es una definición precisa de este concepto introduciendo el diferencial de área como una forma de orden 2 de modo que al aplicarla a dos vectores nos da el área del paralelógramo formado por éstos. A su vez las formas de orden 2 se construyen a partir de formas de orden 1 (elementos de un espacio dual) mediante el producto exterior, operación bien definida. El manejo de conceptos y operaciones precisas y bien definidas permite razonar y hacer cálculos sin peligro de cometer errores.

El curso presupone que se tienen los conocimientos básicos de un primer curso de cálculo infinitesimal de una variable real y de álgebra lineal así como algunos conceptos de topología.

El cálculo vectorial es álgebra en el espacio tangente en cada punto de un dominio para luego integrar los resultados en cada punto (en definitiva sumar) cuando recorremos todos los puntos del dominio: La primera parte de este libro se dedica al cálculo diferencial (capítulo 1) y a la integración (capítulo 2) en varias dimensiones donde se generalizan los resultados del cálculo en una variable real. El capítulo 3 está dedicado álgebra tensorial donde se estudia el concepto de tensor y sus aplicaciones geométricas. En el capítulo 4 se construye el espacio tangente introduciendo la noción de vector tangente como una derivación (como se hace en geometría diferencial), vemos ejemplos de vectores tangentes y aprendemos a realizar cambios de coordenadas. En una segunda sección se introducen las formas diferenciales a partir del espacio dual del espacio tangente. En el capítulo 5 construimos los tensores diferenciales y a partir del espacio tangente y el espacio de tensores diferenciales se introduce la noción de campo vectorial y campos de formas. En particular se estudia la operación de diferenciación exterior de formas. En el capítulo 6 se introduce la noción de cadena y la integración de formas en cadenas. El capítulo 7 está dedicado al teorema general de Stokes en cadenas y sus aplicaciones y se particulariza a los tres teorema clásicos de Stokes, teorema de Green, teorema de la divergencia y el teorema de Gauss-Ostrogradski que son aquí una consecuencia del teorema general. Finalmente en el capítulo 8 se deducen algunas ecuaciones de la mecánica y más en particular de la mecánica de medios continuos. Más precisamente, obtendremos la variación de los distintos objetos geométricos, es decir funciones, campos, formas y en general tensores por acción de un campo vectorial representando la velocidad de un fluido asociado a un grupo uniparamétrico de transformaciones. La herramienta básica es el concepto de derivada de Lie de la geometría diferencial que introducimos limitándonos aquí a regiones del espacio euclídeo.

He completado cada capítulo de estos apuntes con ejercicios cuya solución se da al final del libro con la esperanza de que los estudiantes intenten resolverlos por su cuenta antes de mirar la solución.