Aplicaciones de los espacios de wavelets a la resolución numérica de ecuaciones de difusión no local

Abstract

[ES] La discretización de ecuaciones diferenciales e integrales mediante bases de wavelets constituye una línea de investigación con gran potencial en el análisis numérico. Las técnicas basadas en análisis multirresolución permiten desarrollar métodos eficientes y estables, especialmente adecuados para la aproximación de funciones que presentan estructuras complejas o variaciones significativas a distintas escalas. Las wavelets ofrecen representaciones jerárquicas con distintos niveles de resolución y permiten controlar tanto la localización espacial como la regularidad de la aproximación.

De forma paralela, en las últimas décadas ha aumentado el interés por los modelos matemáticos basados en operadores no locales. Estas formulaciones resultan especialmente adecuadas para describir fenómenos en los que la interacción entre regiones alejadas del dominio desempeña un papel esencial y no puede representarse adecuadamente mediante operadores diferenciales clásicos. La difusión no local aparece en numerosos contextos científicos y aplicados, como la epidemiología, la ecología, el análisis de materiales, el procesamiento de imágenes o la propagación de incendios forestales.

El objetivo principal de esta tesis es estudiar, desarrollar e implementar esquemas numéricos basados en wavelets para la aproximación de operadores de difusión no local. El trabajo aborda tanto aspectos teóricos como computacionales con el fin de construir discretizaciones eficientes en el marco del método variacional de Galerkin. En particular, se desarrollan herramientas para la construcción de bases wavelet adecuadas, el diseño de algoritmos numéricos eficientes y la aplicación de la metodología propuesta a modelos de interés práctico.

Uno de los aspectos centrales del trabajo es el estudio de la discretización de operadores integrales no locales. Aunque estos operadores conducen de forma natural a matrices densas, su representación en bases wavelet presenta propiedades de compresibilidad que permiten obtener matrices con decaimiento rápido de los coeficientes fuera de la diagonal. Esta característica permite reducir significativamente los costes de almacenamiento y computación.

La tesis también aborda diversos aspectos computacionales necesarios para la implementación práctica de estos métodos. Entre ellos se incluyen el desarrollo de reglas de cuadratura para la evaluación de integrales, algoritmos eficientes para el cálculo del producto matriz–vector asociados a operadores compresibles y técnicas de aproximación para el tratamiento de términos no lineales. Asimismo, se estudian estrategias de precondicionamiento para mejorar el comportamiento de los métodos iterativos utilizados en la resolución de los sistemas lineales resultantes.

Finalmente, la metodología desarrollada se aplica al estudio de distintos modelos de difusión no local. En particular, se consideran problemas de referencia que permiten analizar la estructura de los operadores discretizados, así como aplicaciones en modelos epidemiológicos de propagación espacial de virus y en modelos de propagación de incendios forestales que incluyen términos de radiación no local.