Aplicaciones de la teoría de haces a la Ciencia de Redes y al análisis topológico de datos

Abstract

[ES] La presente memoria se sitúa en la intersección de tres áreas de investigación que, aunque han tenido desarrollos históricos independientes, convergen actualmente de forma natural en el análisis de datos y de sistemas complejos: la Ciencia de Redes, el Análisis Topológico de Datos y la Teoría de Haces. La primera proporciona un lenguaje estructural para modelizar sistemas formados por agentes y relaciones; la segunda introduce herramientas algebro-topológicas para extraer información cualitativa a partir de datos; y la tercera permite incorporar información local y reglas de compatibilidad que describen cómo dicha información se transmite o se compara a través de una estructura subyacente. El punto de partida de esta tesis es que muchos sistemas reales requieren simultáneamente estos tres niveles de descripción. Por un lado, las relaciones entre los elementos de una red no siempre son puramente binarias, sino que pueden involucrar grupos de agentes que interactúan de manera colectiva. Por otro lado, las propiedades relevantes de estas estructuras no se reducen a invariantes estáticos, sino que deben estudiarse a lo largo de procesos de evolución. Finalmente, en numerosas aplicaciones no basta con conocer la arquitectura combinatoria del sistema: también es necesario modelizar datos locales asociados a sus nodos, enlaces o comunidades, así como las condiciones bajo las cuales dichos datos son compatibles globalmente. El objetivo general de esta memoria es aprovechar esta convergencia para desarrollar nuevas herramientas matemáticas destinadas al análisis de estructuras discretas enriquecidas con interacciones de orden superior, información local y procesos de evolución. En particular, trabajaremos principalmente con complejos simpliciales finitos como modelos de redes de orden superior, con técnicas de persistencia para estudiar la evolución de sus invariantes, y con haces celulares para incorporar información o datos algebraicos sobre dichas estructuras discretas