Modelos intuitivos y esquema conceptual del infinito en estudiantes de educación primaria, secundaria obligatoria, bachillerato y universidad

Abstract

[ES]El desarrollo de los diferentes aspectos mencionados anteriormente se efectúa a través de la siguiente distribución: El capítulo 1 recorre brevemente la trayectoria histórica de este concepto sometido a las perspectivas más dispares y divergentes, a las teorías más enfrentadas, a los significados más esotéricos e incluso a las posturas más viscerales de los propios matemáticos. Pero a pesar de todo ello, el infinito adquiere su carta de naturaleza en las matemáticas dos milenios y medio después de sus primeras menciones griegas; se trata de la noción matemática que más credenciales ha necesitado para ello.

En el capítulo 2 se establecen las bases teóricas sobre las que se ubican las investigaciones desarrolladas hasta el momento, en torno a la noción de infinito, y recogidas en su mayor parte en el capítulo 3; antes de ello se abordan los puntos de vista más significativos respecto a la idea de Pensamiento Matemático Avanzado, ya que el concepto de infinito cruza su frontera desde sus orígenes en el seno de las matemáticas elementales. A lo largo del segundo capítulo se recorre el ámbito de nociones tales como intuición, esquema conceptual, corporeización, pensamiento metafórico y obstáculos didácticos y epistemológicos que, como ya se ha indicado anteriormente, constituyen el subsuelo de la presente investigación.

El capítulo 3 pretende representar de la manera más exhaustiva posible los trabajos realizados sobre la adquisición del concepto de infinito. La mayor parte de ellos no se alinean claramente con los paradigmas de investigación ya establecidos sino que suelen adoptar marcos teóricos y metodologías mixtas al igual que en el trabajo que nos ocupa.

No obstante, se ha realizado un esfuerzo por establecer una cierta clasificación que facilite su lectura y permita apreciar los resultados más reseñables y las conclusiones más trascendentes.

Todos los aspectos relacionados con los instrumentos metodológicos utilizados en este trabajo aparecen sintetizados en el capítulo 4. En él se recogen las pautas seguidas para el diseño de los cuestionarios y entrevistas, incluyendo los detalles de su aplicación, así como la distribución de las muestras elegidas.

En el capítulo 5, primera parte del análisis de resultados, se presenta el estudio cuantitativo de los mismos y la descripción de los patrones de evolución nivelar (PEN), o temporal, de las diferentes imágenes asociadas al concepto de infinito registradas en los cuestionarios y entrevistas que se han llevado a cabo. Así mismo, se efectúa la detección de los modelos intuitivos implicados en la creación de tales imágenes; con esta labor se han complementado las propuestas de Fischbein, y otros autores referidos en el capítulo 3, incorporando nuevos modelos que permiten una interpretación más detallada y precisa del esquema conceptual correspondiente. Por último, se ha considerado la influencia de contextos y representaciones en los patrones de evolución, así como en los modelos aplicados, a través de su grado de estabilidad que nos indica la mayor o menor sensibilidad del tipo de imágenes frente al contexto en el que se ubican las cuestiones planteadas. Para desarrollar este análisis se han establecido cinco ámbitos frecuentes en la literatura especializada: cardinalidad y equipotencia, divisibilidad infinita, sumas infinitas, operatividad e infinito y lenguaje del infinito. Cada una de estas facetas nos ofrece la oportunidad de profundizar en aspectos concretos del concepto y, a la vez, establecer vínculos entre cada una de ellas.

El capítulo 6 pretende elaborar un esquema conceptual nivelar (ECN) que permita describir en detalle las peculiaridades de este concepto en cada uno de los niveles considerados, a través de una serie de elementos evolutivos, componentes de una estructura previamente diseñada. Tales elementos deberán aportar información tanto progresiva o diacrónica, en relación con niveles inferiores y superiores, como sincrónica o propia de cada nivel; de este modo, encontraremos elementos propios, metafóricos, simbólicos, pre-formales, finitistas e infinitistas, obstaculizadores xiv Introducción Modelos intuitivos y Esquema conceptual del infxiniivto y contradictorios. Esta parte del análisis, cualitativa, se desarrolla a partir del estudio e interpretación de respuestas mediante un catálogo exhaustivo de las mismas que recoge la mayor cantidad posible de expresiones, giros, definiciones, etc., así como puntos de vista, en general, que aporten cualquier imagen adicional al ECN. Un mismo modelo intuitivo nos ofrece una diversidad considerable de propuestas que, aunque no exentas de ambigüedad en su determinación, nos capacita para diagnosticar los puntos débiles del aprendizaje de este concepto y, en base a ello, establecer estrategias de instrucción que reduzcan el impacto de elementos epistemológicos inconvenientes propios de esta noción.

Finalmente, en el capítulo de conclusiones se recogen los resultados más destacados del análisis efectuado; ello nos permitirá establecer ciertas orientaciones didácticas así como algunas propuestas para futuras investigaciones que desarrollen los aspectos más notables sobre los que apunta el presente trabajo.

[EN]The development of the various aspects mentioned above is carried out through the following pattern: Chapter 1 covers briefly the historical trajectory of this concept subject to the most diverse and divergent views, the opposing theories, the more esoteric meanings and even more visceral positions mathematicians themselves. But despite all this, the infinite acquires citizenship in mathematics two and a half millennia after its first Greek terms, it is the mathematical concept has needed more credentials to do so.

Chapter 2 lays down the theoretical bases that are located on the research conducted so far, around the notion of infinity, and set mostly in Chapter 3, before it addresses the points of view significant with respect to the idea of Advanced Mathematical Thinking, as the concept of infinity crosses the border from its origins in the heart of elementary mathematics. Throughout the second chapter covers the field of notions such as intuition, conceptual scheme, embodiment, metaphorical thinking and learning and epistemological obstacles which, as noted above, constitute the subsoil of this research.

Chapter 3 is intended to represent as comprehensively as possible the work on the acquisition of the concept of infinity. Most of them are not clearly aligned with the established research paradigms but often adopt mixed frameworks and methodologies as in the work at hand.

However, it has made an effort to establish a certain classification to facilitate their reading and see the results allow most noteworthy and far-reaching conclusions.

All aspects of the methodological tools used in this work are summarized in Chapter 4. It reflects the pattern followed for the design of questionnaires and interviews, including details of its implementation and distribution of selected samples.

In Chapter 5, part of the analysis of results shows the quantitative study of these and descriptions of the patterns of evolution levels (PEN), or temporary, of the different images associated with the concept of infinity registered in questionnaires and interviews were conducted. Likewise, making the detection of intuitive models involved in the creation of such images, with this work have been added to the proposals of Fischbein, and others mentioned in Chapter 3, adding new models that allow a more detailed and accurate interpretation for conceptual schema. Finally, has considered the influence of contexts and representations in the patterns of evolution as well as in the models applied by their degree of stability which indicates the degree of the type of images compared to the context in which issues are placed raised. To develop this analysis have been established five areas common in the literature: cardinality and equipotent, infinite divisibility, infinite sums, operation and infinite and infinite language. Each of these aspects gives us the opportunity to delve into specific aspects of the concept and, in turn, establish links between each of them.

Chapter 6 aims to develop a conceptual level (ECN) to be described in detail the peculiarities of this concept in each of the levels considered, through a series of evolutionary elements, components of a structure previously designed. These elements will provide information both progressive or diachronic in conjunction with lower and higher levels such as synchronous or proper to each level, thus find elements own metaphorical, symbolic pre-formal, finite and infinite, Models hindering xiv Introduction intuitive conceptual scheme infxiniivto and contradictory. This part of the qualitative analysis is developed from the study and interpretation of answers through an exhaustive catalog of the same which includes as many expressions, turns, definitions, etc.. As well as views, in general, provide any additional images to the NEC. The same intuitive model offers a considerable range of proposals which, though not without ambiguity in their determination, enables us to diagnose weaknesses in the learning of this concept and, on that basis, establish instructional strategies that reduce the impact of inconveniences epistemological elements of this notion.

Finally, in the concluding chapter lists the most important results of the analysis, this allows us to establish certain guidelines and didactic proposals for future research to develop the salient points on which this paper.