Extensiones
Funciones (III) Derivabilidad.- Extensiones
Diversas funciones marginales (coste, ingresos, utilidad...)
En la parte teórica de este tema hemos utilizado la expresión:
\frac{ \mbox{variación de } f(x)} { \mbox{variación de }x}=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}
que es la tasa de variación media, para definir la derivada de la función f (x) como el límite de la misma cuando la variación de x es infinitesimal, esto es, tiende a 0.
Ya esta definición nos hace intuir la gran aplicabilidad que puede tener este concepto en un mundo como el de la Economía y la Empresa, dado que nos permite estudiar cómo varían las funciones fundamentales introducidas en el tema 6, entre otras, cuando se produce algún cambio en la variable de la que dependen. Cómo varía, por ejemplo, la función de costes si aumenta en una unidad la cantidad producida, o la de beneficios si se vende una unidad más.
El estudio de cómo varían estas funciones de coste, ingresos, utilidad, producción,..., lleva a la utilización de sus funciones derivadas, que son las denominadas funciones de coste, ingresos, utilidad, producción,..., marginales.
Estas funciones marginales miden, por lo tanto, las variaciones de las correspondientes funciones al modificarse en una unidad la variable de la que dependen. Por ejemplo, si la función de costes depende del número de unidades que se producen, la función de costes marginal mide la variación que experimentan esos costes al aumentar la producción en una unidad; y análogamente para el resto de funciones marginales.
Un caso muy sencillo que ilustra este concepto es el siguiente: si la función de costes de un determinado producto viene dada por c(x) = ax + b, donde b representa los costes de producción fijos y a el coste que supone producir una unidad del mencionado bien, entonces la función de coste marginal es c'(x) = a (la variación de la función de costes cuando se incrementa la producción en una unidad).
Además, el uso de las derivadas nos permite, en las funciones económicas en particular, estudiar si crecen o decrecen, si tienen máximos y/o mínimos y dónde, si son cóncavas o convexas,..., aspectos todos de importancia fundamental en los conceptos económicos. En el siguiente apartado se presenta la resolución de un ejemplo particular en este sentido.
Elasticidad de la demanda
El concepto de “elasticidad” mide la variación porcentual de una variable con respecto a la variación porcentual de otra. La utilización de este concepto en lugar de, directamente, el de derivada, se debe a que si calculamos cuánto aumenta, por ejemplo, la cantidad demandada, si el precio aumenta en una unidad, el resultado nos dará el número concreto de unidades de variación, con independencia de cuál sea el bien del que estemos hablando. Y no es lo mismo el aumento de 1€ en el precio de un kilo de azúcar, que en el precio de un automóvil, por nombrar dos casos muy extremos. El concepto de elasticidad elimina estas dificultades considerando variaciones relativas.
Uno de los conceptos de elasticidad más utilizados es la elasticidad precio de la demanda que mide la variación porcentual de la demanda con respecto a la variación porcentual del precio. Pero tenemos otros conceptos similares como la elasticidad renta, que mide también la variación porcentual de la cantidad demandada, pero ante un cambio porcentual en la renta; la elasticidad de la oferta, que mide la variación porcentual de la oferta con respecto a la variación porcentual del precio, etc.
Nos vamos a centrar en el caso de la elasticidad precio de la demanda (elasticidad de la demanda), esto es, la sensibilidad de los consumidores ante alteraciones en los precios.
La expresión matemática de esta definición es:
E_p^d=\frac{\Delta \% q}{\Delta \% p}=\frac{\frac{q_f-q_0}{q_0}}{\frac{p_f-p_0}{p_0}}=\frac{\frac{\Delta q}{q_o}}{\frac{\Delta p}{p_0}}=\frac{\Delta q }{\Delta p }\, \frac{p_0}{q_0}
donde q representa la demanda y p el precio. En el caso general de una función f(x) tendríamos que:
Ef(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\frac{x}{f(x)}
Este cálculo mide la elasticidad por intervalos, teniendo en cuenta valores iniciales y finales tanto para el precio como para la demanda.
Figura 1: Definición de elasticidad-precio de la demanda
Teniendo en cuenta que cuando aumenta el precio la demanda disminuye, el resultado numérico de la elasticidad-precio de la demanda es negativo. Sin embargo, para el análisis se toma habitualmente el valor absoluto. Si la reacción ante una variación pequeña del precio es grande, esto es, si cuando el precio aumenta poco la demanda disminuye en mayor proporción, la elasticidad es grande (en valor absoluto) y se dice que la demanda es elástica. Si por el contrario la demanda aumenta en proporción menor al aumento de precio hablamos de demanda inelástica. Si ambas, precio y demanda, se incrementan en igual proporción, el valor de la elasticidad es 1.
En una misma función de demanda la elasticidad, por lo general, va variando a lo largo de la curva, por lo que tiene sentido considerar incrementos infinitesimales del precio. Esto nos lleva a calcular el límite de la expresión de la elasticidad cuando el incremento del precio tiende a 0, obteniendo así la expresión de la elasticidad en cada punto (siempre y cuando ese límite exista -la función sea derivable-):
E=q'(p)\frac{p}{q}
(p y q son precio y demanda en un determinado momento).
Figura 2: Demanda (izquierda) y elasticidad-precio de la demanda (derecha)
El hecho de que la demanda sea más o menos inelástica viene determinado por multitud de factores. Por ejemplo, en productos básicos, aunque el precio aumente, la demanda no suele experimentar cambios significativos. Sin embargo, en productos considerados “de lujo” o para los que podemos encontrar otros semejantes que los sustituyan, se aprecia más la disminución de la demanda si los precios aumentan.
Los casos extremos de la elasticidad son los valores 0 e ∞ , que representamos en las figuras siguientes:
Figura 3: En el caso en el que la elasticidad es 0, el precio no afecta a la demanda. En el caso en el que la elasticidad es ∞, ante una variación mínima la cantidad demandada es 0
Ejemplo
Consideremos el caso de una agencia de viajes que oferta un viaje fin de carrera a diversas facultades. Considera que su función de demanda viene dada por:
q=1000-\frac{p}{5}
En este caso la elasticidad de la demanda viene dada por la expresión:
E=\left|-\frac{1}{5}\frac{p}{q}\right|
Consideremos diversos casos:
Si p = 5000 € la demanda será 0, de modo que consideraremos precios por debajo de este valor, por ejemplo p = 4000. En tal caso q = 200 y la elasticidad será:
E=\frac{1}{5}\frac{4000}{200}=4>1
Que E > 1 supone que la demanda es elástica, así que ante una subida del precio, la demanda disminuirá en mayor proporción. Si consideremos un aumento en el precio del 1 %, esto es, p = 4040, la demanda será q = 192, lo que supone una disminución de ésta del 4 %.
Si p = 2500, entonces la demanda es q = 500 y:
E=\frac{1}{5}\frac{2500}{500}=1
lo que supone que una variación en el precio supone la misma variación en porcentaje de la demanda. Volviendo a considerar un aumento del 1 % en el precio tenemos que p = 2525, de modo que q = 495, esto es una demanda exactamente un 1 % inferior a la de partida.
Si p = 2000 entonces q = 600 y:
E=\frac{1}{5}\frac{2000}{600}\simeq 0,67<1
lo que supone que ante una variación del precio la demanda responderá con una variación menor en porcentaje. De nuevo con el caso en el que el precio aumenta un 1 % tenemos p = 2020, q = 596, lo que supone un porcentaje del 0.67 %
En concreto tenemos en este caso:
E= \left\{ \begin{array}{lll} <1 & \mbox{ si } & 0 < p \leq 2500 \\ = 1 & \mbox{ si } & p = 2500 \\ >1 & \mbox{ si } & 2500 < p < 5000 \end{array} \right.
Los valores extremos son E = ∞ cuando p = 5000 y E = 0 si p = 0.
Figura 4: Demanda (derecha) y elasticidad-precio de la demanda (izquierda)
Gestión de carteras
En las extensiones del Tema 2 describimos el problema de gestión de una cartera. Sería recomendable revisar ese material antes de continuar con este apartado.
Como avanzamos en el Tema 2, el problema principal de la gestión de carteras consiste en encontrar la cartera que para un nivel de rendimiento rE tiene el menor riesgo. Formalmente esto se puede escribir:
\begin{align*} \mbox{ Mín} & \qquad (x_1,x_2, \ldots, x_n) \; V \; \left( \begin{array}{l}x_1 \\ x_2\\ \ldots \\ x_n \end{array}\right) \\ \mbox{Sujeto a} & \\ & x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 1 \\ & x_1 r_{X_1} + x_2 r_{X_2} + \ldots + x_n r_{X_n} = r_E \end{align*}
Recordamos que:
- (x1, x2, . . . , xn) es el vector de pesos o proporciones que determina como se debe distribuir el capital disponible entre los distintos activos.
- (rX1 , rX2 , . . . , rXn ) es el vector de retornos o rendimientos de cada uno de los activos que conforman la cartera. Estos valores deben ser estimados.
- La matriz:
V = \left( \begin{array}{llll} \sigma^2_{X_1} & \sigma_{X_1X_2} & \ldots & \sigma_{X_1X_n} \\ \sigma_{X_1X_2} & \sigma^2_{X_2} & \ldots & \sigma_{X_2X_n} \\ \ldots \\ \sigma_{X_1X_n} & \sigma_{X_2X_n} & \ldots & \sigma^2_{X_n} \end{array} \right)
- La restricción x1 + x2 + . . . + xn = 1, indica que invertimos todo el capital disponible. Observar que no estamos imponiendo que los pesos sean positivos, de modo que alguno de ellos podría ser negativo. Este tipo de operaciones recibe el nombre de operaciones de apalancamiento y consisten en utilizar endeudamiento para la financiación.
- La restricción x1rX1 + x2rX2 + . . . + xnrXn = rE establece que la cartera objetivo tiene rendimiento rE.
Como avanzamos en el Tema 2, no disponemos de las herramientas necesarias para resolver este problema, sin embargo el caso de una cartera de tres activos puede ser reducido a optimización en una variable y su resolución será el objetivo de nuestras próximas líneas.
Cartera de tres activos
Consideremos una cartera formado por los activos { X, Y, Z} , cuyos retornos y matriz de varianzas son:
(r_X, r_Y, r_Z), \qquad \qquad V= \left( \begin{array}{lll} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{Y}^2 & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_{YZ} & \sigma_{Z}^2 \\ \end{array}\right)
buscamos los pesos (x, y, z) que determinan la cartera de retorno rE con mínimo riesgo. Matemáticamente, se trata de resolver el problema de optimización:
\begin{align*} \mbox{ Mín} & \qquad (x,y,z) \; V \; \left( \begin{array}{l}x \\ y \\ z \end{array}\right) = \sigma_X^2 \, x^2 + \sigma_Y^2 \, y^2 + \sigma_Z^2 \, z^2 + 2 \sigma_{XY} x y + 2 \sigma_{XZ} x z + 2 \sigma_{YZ} y z \\ \mbox{Sujeto a} & \\ \mbox{{$1$}} \quad & x + y +z = 1 \\ \mbox{{$2$}} \quad & x\, r_{X} + y\, r_{Y} + z\, r_{Z} = r_E \end{align*}
En primer lugar utilizamos las ecuaciones [1} y {2} para despejar las variables y e z en función de x:
\begin{align*} \left. \begin{array}{l} y + z = 1-x \\ y\, r_{Y} + z\, r_{Z} = r_E - x\, r_X \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad y (x) & = \frac{(r_Z - r_E) + (r_X - r_Z)x}{r_Z - r_Y } = a_y + b_y x \\ z(x) & = \frac{(r_E - r_Y) + (r_Y - r_X) x}{r_Z- r_Y} = a_z + b_z x \end{align*}
Notar que hemos introducidos los coeficiente ay , by , az y bz definidos en función del vector de rendimientos (rX , rY , rZ ) y el rendimiento esperado rE .Tras definir y e z como funciones de x podemos sustituirlas en la función objetivo para obtener una función de una variable:
\begin{align*} f(x) &= (x, a_y + b_y x , a_z + b_z x) \; V \; \left( \begin{array}{l}x \\ a_y + b_y x \\ a_z + b_z x \end{array}\right) \\ &= \sigma_X^2 \, x^2 + \sigma_Y^2 \, (a_y + b_y x)^2 + \sigma_Z^2 \, (a_z + b_z x)^2 \\ & \quad + 2 \sigma_{XY} x (a_y + b_y x) + 2 \sigma_{XZ} x (a_z + b_z x) + 2 \sigma_{YZ} (a_y + b_y x) (a_z + b_z x) \end{align*}
Para encontrar el mínimo, debemos derivar la función anterior e igualarla a cero. Un simple cálculo conduce a:
f'(x)= 2 (1, b_y , b_z ) \; V \; \left( \begin{array}{l}x \\ a_y + b_y x \\ a_z + b_z x \end{array}\right).
Sea (α, β, γ) = (1, by , bz ) V , entonces:
\begin{align*} f'(x)= 0 \quad &\Rightarrow \quad (\alpha, \beta , \gamma) \cdot (x , a_y + b_y x, a_z + b_z x ) = 0 \\ &\Rightarrow \quad x = \frac{- \beta a_y - \gamma a_z }{\alpha + \beta b_y + \gamma b_z} \end{align*}
Por otro lado, las características de la matriz V (matriz de varianzas), involucran f''(x) > 0, por tanto el punto anterior es un mínimo local. De hecho se puede demostrar que es también global, aunque por el momento solo lo asumiremos.
Resumimos el resultado que hemos obtenido. En primer lugar calculamos los coeficientes:
\begin{align*} &a_y = \frac{r_Z - r_E}{r_Z - r_Y } \qquad b_y =\frac{r_X - r_Z}{r_Z - r_Y } \qquad a_z = \frac{r_E - r_Y}{r_Z- r_Y} \qquad b_z = \frac{r_Y - r_X}{r_Z- r_Y} \\ &(\alpha, \beta, \gamma) = (1, b_y,b_z) \left( \begin{array}{lll} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{Y}^2 & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_{YZ} & \sigma_{Z}^2 \\ \end{array}\right) \end{align*}
Entonces los pesos de la cartera viene dados por:
\begin{align*} x = \frac{- \beta a_y - \gamma a_z }{\alpha + \beta b_y + \gamma b_z} \qquad y = a_y + b_y \frac{- \beta a_y - \gamma a_z }{\alpha + \beta b_y + \gamma b_z} \qquad z= a_z + b_z \frac{- \beta a_y - \gamma a_z }{\alpha + \beta b_y + \gamma b_z} \end{align*}
Por último, el riesgo de la cartera vendrá determinado por:
\sigma_C = \sqrt{ (x,y,z) \left( \begin{array}{lll} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{Y}^2 & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_{YZ} & \sigma_{Z}^2 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{l}x \\ y \\ z \end{array}\right)}
Ejemplo y frontera eficiente
Consideremos una cartera formada por 3 activos {X, Y, Z} dadas por:
\begin{array}{ll} r_X = 0.10 & \sigma_X = 0.07\\ r_Y = 0.25 & \sigma_Y = 0.14\\ r_Z = 0.33 & \sigma_Z = 0.28 \end{array} \qquad \qquad V= \left( \begin{array}{rrr} 0.0050 &-0.0060 &0.0020 \\ -0.0060 & 0.0199 &-0.0158 \\ 0.0020 &-0.0158 &0.0790 \end{array} \right)
Utilizaremos los resultados de la sección anterior para determinar la cartera de riesgo mínimo para un retorno esperado rE = 0.2. Empleando las fórmulas previas:
\begin{align*} &a_y = \frac{r_Z - r_E}{r_Z - r_Y } = \frac{0.33 - 0.20}{0.33 - 0.25} = 1.625 \qquad b_y =\frac{r_X - r_Z}{r_Z - r_Y } = \frac{0.10 - 0.33}{0.33 - 0.25} = -2.875 \\ & a_z = \frac{r_E - r_Y}{r_Z- r_Y} =\frac{0.20 - 0.25}{0.33 - 0.25} = -0.625 \qquad b_z = \frac{r_Y - r_X}{r_Z- r_Y} = \frac{0.25 - 0.10}{0.33 - 0.25} = 1.875 \end{align*}
\begin{align*} (\alpha, \beta, \gamma) &= (1, b_y, b_z) V = (1,-2.875 ,1.875) \left( \begin{array}{rrr} 0.0050 &-0.0060 &0.0020 \\ -0.0060 & 0.0199 &-0.0158 \\ 0.0020 &-0.0158 &0.0790 \end{array} \right) \\ & = ( 0.026, -0.0928, 0.1955) \end{align*}
Luego la distribución de la cartera viene dada por:
\begin{align*} &x = \frac{- \beta a_y - \gamma a_z }{\alpha + \beta b_y + \gamma b_z} = 0.4140 \\ &y = a_y + b_y x = 0.4347 \\ &z= a_z + b_z x = 0.1513 \end{align*}
y el riesgo asociado a la misma:
\sigma_C = \sqrt{ (x,y,z) \left( \begin{array}{lll} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{Y}^2 & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_{YZ} & \sigma_{Z}^2 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{l}x \\ y \\ z \end{array}\right)} = 0.0494
Notar que hemos conseguido una cartera con rendimiento 0.2 (mayor que el del activo X, y cercano al rendimiento del activo Y ), pero sin embargo, el riesgo asociado es un 30 % inferior al del activo con menor riesgo (activo X). Es evidente que la diversificación está disminuyendo el riesgo.
En la Figura 5 hemos resuelto este problema para un rango de retornos esperados rE ∈ (0.10, 0.50) y hemos dibujado los riesgos-retornos de las carteras resultantes en un plano. Las cartera localizadas sobre la curva ofrecen el mínimo riesgo para el retorno fijado en el eje OY . En el vértice de la curva está situada la cartera de menor riesgo. Las carteras localizadas en la parte inferior del vértice se denomina carteras ineficientes, pues existen carteras con el mismo riesgo asociado que ofrecen mayor rendimiento (aquellas localizadas en la vertical por encima el vértice). Observar que esta estrategia permite obtener carteras con retornos superiores a los activos que forman la cartera, esto requiere operaciones de apalancamiento (alguno/s de los pesos negativos) y no siempre es admitido por el mercado.
Figura 5: Frontera eficiente de la cartera formada por tres activos. Las cartera localizadas sobre la curva ofrecen el mínimo riesgo para el retorno fijado en el eje OY
Aplicación de las derivadas en Economía
Maximización de los beneficios en una explotación agrícola
Derivada de una función de una variable
La siguiente aplicación generada a través de WebMathematica permite calcular la derivada de una función de una variable y multiplidad n
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