Extensiones
Funciones (II) Límites y Continuidad.- Extensiones
Aplicaciones de límites y continuidad de funciones
Muchas ciencias utilizan modelos matemáticos que incluyen funciones para estudiar fenómenos que dependen de una o varias variables. Las funciones son potentes herramientas matemáticas para describir e interpretar el entorno físico, natural y social al establecer relaciones entre las magnitudes que intervienen. Interesa especialmente estudiar la tendencia que se puede presentar cuando los valores de la variable independiente que representa una de estas magnitudes se acercan a una cantidad, finita o infinita.
La idea de continuidad de funciones está presente en muchos diseños que se aplican a la ciencia y a la tecnología. En algunos programas de dibujo asistido por ordenador, como Adobe Illustrator o Corel Draw, alguna de sus herramientas se llama bézier. Las curvas de Bézier y los esplines son funciones continuas determinadas por un conjunto de puntos o nodos . Generalmente, se generan a partir de funciones polinómicas de grado tres que permiten la representación de cualquier forma curvada sin complicados cálculos matemáticos, aunque algunas aplicaciones usan polinomios de grado 4 buscando mayor suavidad en las transiciones. La curva pasa por los puntos de anclaje o nodos y su forma viene dada por los puntos de control, puntos exteriores a la curva, invisibles en el dibujo, que definen sus puntos de inflexión, es decir, aquellos en que cambia de curvatura pasando de cóncava a convexa o viceversa.
Figura 1: Ejemplo de curva de Bézier. Los puntos P0, P3 y P6 son nodos de anclaje. La forma de la curva queda determinada por los puntos de control P1, P2, P4 y P5.
En esta sección vamos a mencionar algunos modelos matemáticos con funciones utilizados en diversas áreas. En bioquímica y biotecnología, para el estudio de cinética de enzimas se utiliza la ecuación de Michaelis-Menten que relaciona la velocidad de la reacción V (producto generado en un lapso de tiempo) en función de la concentración de sustrato [S]:
V=V_{max}\frac{[S]}{K_M+[S]}
donde V es la velocidad de la reacción, Vmax la velocidad máxima del sistema, [S] la concentración de sustrato y KM la constante de Michaelis-Menten para el par enzima- sustrato correspondiente, y que es la concentración de sustrato con la que la velocidad de la reacción es la mitad de la velocidad máxima del sistema. La siguiente figura representa la ecuación de Michaelis-Menten:
Figura 2: Representación de la ecuación de Michaelis-Menten. En cada punto de la hipérbola, la abscisa corresponde a la concentración de sustrato y la ordenada al eje y la velocidad de reacción.
Para determinar gráficamente las constantes Vmax y KM se utiliza la representación doble recíproca
\left(x=\dfrac{1}{V}, \,y=\dfrac{1}{[S]}\right)
con lo que la ecuación se transforma en la recta de Lineweaver-Burk
y=\dfrac{K_M}{V_{max}}x+\dfrac{1}{V_{max}}
que permite calcular gráficamente, a partir de los datos experimentales, los valores de KM y Vmax.
Figura 3: Recta de Lineweaver-Burk.
La pendiente de la recta es:
\dfrac{K_M}{V_{max}}
La abscisa en el origen es:
-\frac{1}{K_M}
Y la ordenada en el origen es:
\frac{1}{V_{max}}$
En física se utilizan algunas funciones continuas para describir el movimiento ondulatorio. Una onda es una perturbación que se propaga en el espacio, transportando energía en la dirección de su movimiento pero no materia. El radar, el sonar, los microscopios y telescopios, la fibra óptica y métodos de diagnóstico médico como ecografías o tomografías utilizan esta propiedad de las ondas. Cuando la fuente que produce la perturbación describe un movimiento armónico simple la onda generada se llama onda armónica. Esta simple forma de onda se produce al sacudir un extremo de una cuerda larga que está sujeta en el otro extremo y en tensión. La onda armónica viene descrita por la ecuación
x(t) = A sen(ωt + ψ0)
donde x(t), es la elongación o posición que ocupa la partícula que vibra en el instante t, A es la amplitud de onda o distancia máxima que puede separarse una partícula del punto de equilibrio, ω es la pulsación o frecuencia angular, y ψ0 es la fase inicial o estado de la vibración en el instante inicial t = 0. La frecuencia, número de vibraciones completas que realiza la partícula en un segundo, viene dada por ω / 2Π y es la inversa del periodo o tiempo que tarda en realizarse una variación completa.
Cualquier punto genérico P que diste una distancia x del foco vibrará análogamente siguiendo un movimiento armónico simple, pero con un cierto retraso t', de forma que la vibración del punto P viene descrita por la ecuación:
y = A sen(ω(t − t') + ψ0)
Figura 4: Onda generada en una cuerda por un oscilador armónico. El oscilador genera una perturbación en la cuerda que es, idealmente, una onda armónica de amplitud A. Cualquier punto P vibra siguiendo el movimiento armónico simple del foco con un retardo que depende de la distancia al foco
El teorema de Fourier permite expresar cualquier movimiento ondulatorio como superposición de ondas armónicas:
x(t)=\sum\limits_{k=1}^\infty A_k sen\left(\pi \omega t+\psi_0\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n A_k sen\left(\pi \omega t+\psi_0\right)\right)
También en Ciencias Sociales se utilizan funciones matemáticas continuas más o menos complejas. En Matemática Financiera, se habla de:
- Régimen de Interés Simple si los intereses generados por un capital no se acumulan hasta el final de proceso. Las fórmulas correspondientes son:
I = C0 t· i C = C0 + I
donde I es el interés obtenido, C0 el capital inicial, t el tiempo, i el tipo de interés y C el capital final.
- Régimen de Interés Compuesto si los intereses producidos en cada periodo se capitalizan y generan intereses en el siguiente perıodo de tiempo. Las fórmulas correspondientes son:
C = C0(1 + i)t
donde i es el tipo de interés por perıodo de capitalización, C0 el capital inicial, t el tiempo y C el capital final.
Como i = j / m, siendo j el tipo de interés nominal anual, m la frecuencia de capitalización y t el número de años, se tiene que el número total de periodos de capitalización es n = m.t, con lo que:
C=C_0 \left(1+\frac{j}{m}\right)^{m\cdot t}
- Régimen de Interés continuo si los perıodos de capitalización en el interés compuesto fuesen acortándose hasta considerarlos instantáneos, es decir, si la frecuencia de capitalización m aumenta de forma indefinida, esto es, si m → ∞.
Haciendo ν = m / j en la última ecuación se obtiene:
C=C_0 \left[\left(1+\frac{1}{\nu}\right)^\nu \right]^{j \cdot t}
Si m → ∞, ν → ∞, con lo que hallando el límite cuando ν → ∞, se obtiene:
C=C_0 \left[\lim\limits_{\nu \to \infty}\left(1+\frac{1}{\nu}\right)^\nu \right]^{j \cdot t}= C_0 e^{j_c \cdot t}
donde hemos utilizado que:
e=\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
y jC denota el interés.
Como curiosidad mencionamos la identidad de Euler que permite expresar cualquier número complejo en notación exponencial y muchos consideran una de las ecuaciones más bellas del mundo.
eiπ + 1 = 0
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