Extensiones
Elementos básicos de integración.- Extensiones
Funciones a partir de funciones marginales
Es bastante común que no se conozcan datos que permitan obtener directamente las funciones de coste o ingreso o producción o beneficio o utilidad, pero sí las correspondientes “funciones marginales” (función de utilidad marginal, función de coste marginal, función de ingresos marginal, etc). Esto es, resulta más sencillo conocer datos que reflejan incre- mentos ocasionados en costes y/o ingresos por el aumento de la producción y/o venta de un determinado artículo.
Dado que las funciones marginales son las derivadas de las correspondientes funciones (ver el apartado de extensiones del Tema 8), si conocemos las primeras podremos calcular las últimas integrando aquellas.
Un ejemplo muy sencillo puede ser el caso en el que sabemos el precio p de venta de una unidad de un determinado producto y el coste c de producirla. En tal caso, la utilidad marginal (o beneficio marginal) aumenta en p - c unidades si se vende una unidad más de dicho producto. Esto supone que la función de utilidad (o beneficios) viene dada por:
\int (p-c) \, dx=(p-c)x+k
Si damos por hecho que el beneficio de vender 0 unidades es 0, obtenemos que k = 0 y, por lo tanto, que la función de utilidad es u(x) = (p - c)x, función que estamos habituados a plantear directamente, sin atender a este tipo de razonamiento, pero que creemos ilustra convenientemente la aplicación que planteamos.
De esta forma, si conocemos la función marginal (de coste, de ingresos, de utilidad,...) F'(x) podemos calcular la función (de coste, de ingresos, de utilidad) aplicando la propiedad conocida de que la integral de una función es otra función cuya derivada es la función de partida:
F(x)=\int F'(x)\, dx
Excedente Productor - Consumidor
Consideremos las curvas de oferta p=s(q) y demanda p=d(q) respectivamente, que determinan el precio unitario de un producto en función de la cantidad producida, y que ya fueron conveniente introducidas en el capítulo 8. Dedicaremos esta sección a estudiar el concepto de excedente (consumidor/productor) que está relacionado con el cálculo integral.
Comenzaremos con algunas definiciones:
- Punto de equilibrio: Es el punto en el cual se cortan las funciones de oferta y demanda, es decir:
s(q) = d(q) ⇒ (q0, p0)
- Excedente del productor: Es el beneficio adicional que obtienen el productor por la venta de un producto cuando este se vende a un precio superior al que estaría dispuesto a cobrar. Se determina de la forma:
- Excedente del consumidor: Es el beneficio adicional que obtiene el consumidor por la compra de un producto a un precio inferior al que estaría dispuesto a pagar. Viene determinado por:
Integral definida de una función de una variable
La siguiente aplicación generada a través de WebMathematica permite calcular la integral definida de una función de una variable
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