Extensiones
Vectores.- Extensiones
Introducción
Es muy habitual asociar el término vector a ciencias como las Física o Matemáticas, y percibirlos como elementos geométricos del espacio bidimiensonal (R2) o tridimensional (R3). Sin embargo, los vectores están presentes en muchas otras ciencias, en particular en la Economía y Finanzas, y en general se emplean con dimensiones arbitrarias (Rn).
En este documento, presentamos dos ejemplos que revelan lo expuesto en el párrafo anterior. El primero de ellos hace referencia a la teoría del consumidor, que utiliza vectores para modelizar un conjunto ordenado de bienes (cestas de bienes). El número de bienes o mercancias considerados, y sobre los que el consumidor o agente establece sus preferencias, determinan la dimensión del vector y por supuesto, el número de ellos podría ser superior a 3. Por ejemplo, el IPC (´Indice de Precios de Consumo) que elabora el Instituto Nacional de Estadística en España, considera un total de 479 artículos.
En el segundo caso, nos centraremos en la gestión de carteras. Una cartera es una colección ordenada de activos financieros. De nuevo, la cartera se puede representar por un vector, donde cada componente refleja la proporción de la inversión destinada a cada activo. La dimensión del vector depende de número de activos considerados. Por ejemplo, una cartera basada en el IBEX35 (“cartera indexada”) está determinada por un vector de dimensión 35.
Teoría del consumidor: Cestas de bienes
La teoría del consumidor es una rama de la Microeconomía que estudia el comportamiento del consumidor, siendo su el objetivo analizar como el agente obtiene el mayor bienestar dado un determinado presupuesto.
En primer lugar, se debe terminar el conjunto de bienes (artículos, mercancías, servicios) sobre los que el consumidor establecerá su selección. Este conjunto se denomina cesta de bienes, y viene representado por un conjunto de vectores:
C = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ≥ 0, i = 1, . . . n}
donde xi representa la cantidad de bien i-ésimo, que se asume positivo. También es preciso introducir el vector de precios:
p = (p1, p2, . . . , pn)
aquí, la componente i-ésima refleja el precio del i-ésimo bien. Observar que si x ∈ C es un vector de bienes y p su vector de precios, el producto escalar de ambos proporciona el precio de la cesta:
Precio de x = p · x = p1x1 + p2x2 + . . . + pnxn
Cuando la expresión anterior se iguala al presupuesto del agente se conoce como restricción presupuestaria. En la Figura 1 se representan diferentes restricciones presupuestarias para determinadas cestas de dos y tres bienes, respectivamente.
Figura 1: Ejemplos de restricciones presupuestarias sobre cestas de dos bienes de precios (5, 2) (izquierda) y de tres bienes de precios (5, 2, 1) (derecha). Notar que todas las cestas localizadas en la misma recta (o plano) tienen asignado el mismo presupuesto.
Un forma sencilla de comparar distintas cestas es asignarlas una utilidad, es decir, a cada cesta se le asigna un valor numérico que cuantifica la satisfacción que produce en el consumidor. Matemáticamente, esto se puede hacer a través de una función que asigna un número real positivo a cada una de las cestas:
u : C ≡ {Cestas de bienes} −→ R+
(x1, x2, . . . , xn) −→ u(x1, x2, . . . , xn)
Cuando dos cestas tienen asignada la misma utilidad se dice que son indiferentes. En la Figura 2 hemos dibujado varias curvas de indiferencia para dos funciones de utilidad dadas por:
u1(x, y) = log(1 + xy), u2(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Figura 2: Ejemplos de curvas (o superficies) de indiferencia. Las cestas localizadas en la misma curva o superficie proporcionan la misma utilidad (“satisfacción”) al agente.
Una de las principales cuestiones que aborda la teoría del consumidor, es la selección de la cesta que proporciona mayor utilidad para un determinado presupuesto. Formalmente, esto se puede escribir como un problema de optimización:
Máx u(x1, x2, . . . , xn)
Sujeto a
(p1, p2, . . . , pn) · (x1, x2, . . . , xn) = p
La resolución de este tipo de problemas queda fuera de los objetivos de este curso cero (será abordada en el desarrollo del Grado). No obstante, avanzamos que geométricamente, la cesta óptima es aquella con función de utilidad tangente a la recta presupuestaria (ver Figura 3).
Figura 3: Representación gráfica del problema de maximización de la utilidad u(x, y) = log(1 + xy) sujeta a la restricción x + 2y = 30. La cesta óptima es aquella con función de utilidad tangente a la recta presupuestaria.
Gestión de carteras
Un cartera o porfolio es un conjunto de activos financieros. La gestión o selección de carteras es una disciplina que estudia como distribuir la inversión para obtener la cartera óptima: aquella que proporciona un determinado rendimiento con el menor riesgo. Por ejemplo, podríamos plantearnos la construcción de una cartera basada en las acciones de las 35 empresas que cotizan en el IBEX. En este caso, la cartera quedaría determinada por un vector de pesos o proporciones, donde cada componente indicaría el porcentaje que debemos destinar a cada empresa.
Para continuar debemos introducir algunos conceptos. Un valor de un activo financiero X se caracteriza por su retorno y riesgo.
Retorno (rX ). También denominado rendimiento, es una cantidad que indica el porcentaje que se revaloriza el activo en el periodo considerado. Por ejemplo, si el activo X tiene un retorno de 0.05 mensual, se espera que el activo incremente mensualmente su valor un 5 %.
Riesgo (σX ). Mide la incertidumbre o volatilidad del mercado. Mide la probabilidad de cambios en el precio del activo y por tanto la posibilidad de obtener un resultado negativo en la inversión.
Determinar el retorno y riesgo de un activo, no es un problema sencillo e involucra a otras materias que serán tratadas en el Grado: Estadística, Econometría. Formalmente, el valor del activo, es una variable aleatoria, el retorno es su esperanza matemática y el riesgo su desviación típica. La dificultad de calcular el retorno y riesgo radica en que se deben utilizar datos del pasado para estimar datos en el futuro. En general, los activos que proporcionan un mayor retorno, también poseen un mayor riesgo.
Necesitamos además un indicador que proporcione información de la relación que existe entre el valor de dos activos. Es decir, si se espera que cuando uno incrementa su valor el otro también lo haga o al contrario, su valor se decremente. Esta información se puede recuperar a través de la covarianza σXY , o el denominado coeficiente de correlación:
\rho_{XY}= \frac {\sigma_{XY}}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}
Este índice varía entre [ -1, 1], cuando es negativo los valores de los activos están inversamente relacionados (cuando uno aumenta el otro disminuye), siendo esta relación perfecta cuando ρXY = - 1. Por el contrario, cuando es positivo los valores de los activos está directamente relacionados (los dos aumentan o disminuyen simultaneamente), siendo esta correlación perfecta cuando ρXY = 1.
Si planteamos construir una cartera C con los activos {X1, X2, . . . , Xn } precisamos conocer su vector de retornos y matriz de varianzas-covarianzas (“matriz de riesgos”):
\mathbf{r}= (r_{X_1} , r_{X_2}, \ldots , r_{X_n}) , \qquad V = \left( \begin{array}{llll} \sigma^2_{X_1} & \sigma_{X_1X_2} & \ldots & \sigma_{X_1X_n} \\ \sigma_{X_1X_2} & \sigma^2_{X_2} & \ldots & \sigma_{X_2X_n} \\ \ldots \\ \sigma_{X_1X_n} & \sigma_{X_2X_n} & \ldots & \sigma^2_{X_n} \end{array} \right)
Entonces si la cartera tiene por vector de pesos x = (x1, x2, . . . , xn) su retorno rC y el riesgo de la cartera σC viene dados por:
\begin{align*} &r_C = \mathbf{x} \cdot \mathbf{r}= (x_1,x_2, \ldots, x_n) \cdot (r_{X_1} , r_{X_2}, \ldots , r_{X_n}) = x_1 r_{X_1} + x_2 r_{X_2} + \ldots + x_n r_{X_n} \\ & \\ &\sigma_C = \sqrt{ \mathbf{x}^t V \mathbf{x} } =\sqrt{ (x_1,x_2, \ldots, x_n) \left( \begin{array}{llll} \sigma^2_{X_1} & \sigma_{X_1X_2} & \ldots & \sigma_{X_1X_n} \\ \sigma_{X_1X_2} & \sigma^2_{X_2} & \ldots & \sigma_{X_2X_n} \\ \ldots \\ \sigma_{X_1X_n} & \sigma_{X_2X_n} & \ldots & \sigma^2_{X_n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l}x_1 \\ x_2\\ \ldots \\ x_n \end{array}\right) } \end{align*}
Observar que el retorno de la cartera es una media ponderada por los pesos de los retornos de cada activo. En cuanto al riesgo, la justificación requiere conocer algunas propiedades de la varianza que asumiremos.
Por ejemplo, si seleccionamos una cartera formada por los activos {A, B} donde:
\mathbf{r} = ( 0.10, 0.25) \\ \qquad \qquad V = \left( \begin{array}{rr} 0.005 &-0.006 \\ -0.006 & 0.02 \end{array} \right)
con pesos (xA = 0.2, xB = 0.8) su retorno y riesgo vienen dados por:
\begin{align*} & r_C = \mathbf{x} \cdot \mathbf{r} = (0.2,0.8) \cdot (0.10, 0.25) = 0.22 \\ & \sigma_C = \sqrt{ \mathbf{x}^t V \mathbf{x} } =\sqrt{ (0.2,0.8) \left( \begin{array}{rr} 0.005 &-0.006 \\ -0.006 & 0.02 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0.2 \\ 0.8 \end{array} \right) } \\ & \qquad \qquad \qquad = \sqrt{ 0.005 \times 0.2^2 - 2 \times 0.006 \times 0.8 \times 0.2 + 0.02 \times 0.8^2 } = 0.105 \end{align*}
El problema principal de gestión de carteras consiste en encontrar la cartera que para un nivel de rendimiento rE tiene el menor riesgo. Formalmente esto se puede escribir:
\begin{align*} \mbox{ Mín} & \qquad (x_1,x_2, \ldots, x_n) \; V \; \left( \begin{array}{l}x_1 \\ x_2\\ \ldots \\ x_n \end{array}\right) \\ \mbox{Sujeto a} & \\ & x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 1 \\ & x_1 r_{X_1} + x_2 r_{X_2} + \ldots + x_n r_{X_n} = r_E \end{align*}
Notar que la primera restricción significa que se invierte todo el capital, y la segunda que la cartera debe tener retorno rE . Por supuesto, este problema es inabordable en este momento. No obstante, el caso de tres activos, puede ser reducido a optimización en una variable y será tratado en el tema 8.
El modelo que hemos presentado en esta sección se denomina modelo media-varianza y es debido a H. Markowitz (1952) (Portfolio Selection, Journal of Finance vol. VII, no 1, pp: 77-91).
Para terminar, analizaremos el caso de una cartera de dos activos: comprobaremos que si la correlación es negativa, una adecuada distribución (diversificación) permitirá disminuir el riesgo. Sean X, Y dos activos con retornos, riesgos y covarianza:
rX rY σX σY σXY
En este caso, es posible prescindir de σXY y utilizar el coeficiente de correlación, pues:
σXY = σXσY ρXY
Recordar que ρXY ∈ [−1, 1]. Con ello, el retorno y riesgo de la cartera {X, Y }, con peso (x, y = 1 − x), vienen dados por:
\begin{align*} r_C &= x r_X + (1-x) r_Y \\ \sigma_C &= \sqrt{ x^2 \sigma_X^2 + x^2 \sigma_Y^2 + 2 x y \sigma_{XY} } = \sqrt{ x^2 \sigma_X^2 + (1-x)^2 \sigma_Y^2 + 2 x (1-x)\sigma_{X} \sigma_{Y} \rho_{XY} } \end{align*}
Para estudiar el comportamiento de las diferentes carteras cuando x ∈ [0, 1] y ρXY ∈ [ -1, 1], supongamos que los activos X, Y tienen:
rX = 0.10 rY = 0.25 σX = 0.26 σY = 0.37
En la Figura 4 presentamos las curvas (rC (x), σC (x)) para distintos valores de ρXY . Esto es, tomamos un valor de x ∈ (0, 1), calculamos el retorno y riesgo de acuerdo a las fórmulas anteriores, y después localizamos ese punto en el plano retorno(eje X)-riesgo(eje Y).
Figura 4: Carteras formadas por dos activos {X, Y} . Para diferentes valores del coeficiente de correlación. Observar que cuando la correlación es negativa es posible combinar los activos de modo que el riesgo se reduzca.
Finalizamos con varias observaciones:
- Cada punto de cada una de las curvas, corresponde con una cartera. Notar que cuando x = 1 la cartera solo está formada por el activo X y cuando x = 0 la cartera solo contiene al activo Y . Los puntos de la curva entre X e Y corresponden a valores de x ∈ (0, 1).
- La cartera de menor riesgo en cada uno de los casos, es la que esta localizada en el vértice de la curva.
- Las carteras localizadas por debajo del vértice, se denominan carteras ineficientes. Pues existen otras carteras con el mismo riesgo que proporcionan mayor retorno (las que están localizadas en la vertical por encima del vértice).
- Si la correlación es negativa perfecta ρXY = -1, es posible construir una cartera con riesgo nulo.
- Si la correlación es positiva perfecta ρXY = 1, la diversificación del riesgo es inviable, es decir riesgo y retorno se incrementan al mismo tiempo.
Por último, recordamos que toda esta teoría se basa en que los valores de retorno y riesgo están correctamente estimados, algo que no es obvio, y que en periodos de incertidumbre financiera o crisis puede ser realmente complejo, por no escribir imposible.
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