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Extensiones

Funciones (I) Introducción.- Extensiones

Algunas funciones básicas en teoría del consumo

La utilización de las Matemáticas en la modelización económica reporta muchas ventajas inmediatas. Entre ellas está que el lenguaje matemático requiere una enumeración explícita y exhaustiva de las premisas (hipótesis ) que se utilizan. Otra ventaja del lenguaje analítico es que muestra con claridad las relaciones existentes entre las variables, permitiendo incluso hacer explícitas algunas conexiones que no resultan evidentes. Vamos a ver esto en algunos casos particulares que se encuentran en los primeros temas de cualquier manual de iniciación a la Microeconomía: la construcción de funciones como la de utilidad total o ciertas funciones de demanda.

La función de utilidad total

Dado un agente económico (un consumidor de un cierto bien en este caso) su función de utilidad total establece cuál es la relación entre la cantidad poseída o consumida de ese bien y la satisfacción que reporta al agente esa posesión o consumo. Es decir, la función de utilidad u = f (x) es una función real definida en el dominio D de los consumos posibles del bien en cuestión para el agente económico. Por ejemplo, si:

  •  El agente posee una dotación presupuestaria R para la adquisición del bien.
  •  Es posible consumir o adquirir el bien en cuestión en cantidades que se expresan por números reales no necesariamente enteros ni racionales.
  •  El precio unitario del bien es p.

Entonces el dominio de la función de utilidad sería:

D=\{x\in R, x \geq 0, xp \leq R\}=[0, \frac{R}{p}]

Es habitual que para la función de utilidad total se exijan inicialmente las siguientes hipótesis:

  1. La utilidad crece al aumentar la cantidad del bien. Esto implica que la función f (x) es creciente.
  2. Existe un máximo x0 para la utilidad, es decir a partir de ese valor la utilidad no crece para el consumidor, lo que, junto con la hipótesis anterior implica que f (x0) = f (x),xx0. El valor x0 se denomina punto de saturación.
  3. A medida que va creciendo el consumo los aumentos de éste producen cada vez más incrementos menores en la utilidad ( principio de utilidad marginal decreciente). Esto implica que la función de utilidad es cóncava (de hecho estrictamente cóncava en el intervalo [0,xo] (ver el rema 9) o bien que la utilidad marginal (es decir, la utilidad adicional que recibe el consumidor por la última unidad consumida) va disminuyendo a medida que aumenta el consumo.
  4. El consumo x = 0 reporta utilidad nula. Es decir f(0) = 0.

Una función que verifica todas estas condiciones es, por ejemplo:

f(x)=\left \{ \begin{array}{lll} \sqrt{x} & &{ si } 0 \leq x \leq 9 \\ 3 & &{ si } x >9 \end{array} \right .

Efectivamente, esta función es creciente, su gráfica pasa por el punto (0, 0), y alcanza un máximo en el punto de saturación x = 9, manteniéndose constante a partir de él (Figura 1). 

Las cuatro hipótesis relacionadas antes son habituales, pero en ocasiones alguna de ellas se modifica. Por ejemplo, no es raro que se contemplen funciones de utilidad que son crecientes hasta el punto de saturación y a partir de él son decrecientes. Esto implicaría que adquirir o consumir unidades adicionales del bien a partir de x0 produce utilidad negativa o desutilidad (por costes de almacenamiento, por ejemplo).

Figura 1

Figura 1: Ejemplo de función de utilidad total


Funciones de demanda bajo supuestos de equilibrio parcial

Es frecuente en los estudios económicos analizar una función en la que inter-vienen varios factores (variables ) examinando los efectos que produce la variación de uno solo de ellos. Por ejemplo, esto se hace cuando en un mercado en el que hay varios bienes x1, . . . , xn se estudia la demanda de uno de ellos xi, considerando que ésta solo depende de su precio pi (lo que supone que los precios de los otros bienes son constantes y que también es constante la renta del agente económico). En la literatura económica clásica, los análisis del precio/los precios que hacen que demanda y oferta se igualen, bajo estas condiciones de variación de uno solo de los factores se denominan de equilibrio parcial. Es claro que estas modelizaciones serán poco realistas (entre otras cosas se supone que la demanda que un individuo hace de cierto bien no depende ni de su renta ni tampoco del precio de otros bienes que incluso pueden ser sustitutivos o complementarios del que se estudia). Sin embargo la simplicidad del modelo hace que este sea muy fácil de comprender y se vean con claridad algunas relaciones.

Función de demanda dependiente solo del precio del bien

Bajo estos supuestos, la función de demanda del bien dependerá exclusivamente de su precio, es decir q = f (p) donde q denota la cantidad demandada del bien cuando este alcanza el precio p. Esta función es decreciente, puesto que el consumidor va otorgando un valor cada vez menor a los incrementos del bien a medida que el consumo aumenta (principio de utilidad marginal decreciente, supuesto 3º del anterior apartado).

Figura 2Figura 2: Función de demanda bajo las hipótesis habituales

Otra hipótesis habitual es que a medida que va creciendo el precio los aumentos de éste producen cada vez decrementos menores en la cantidad demandada (la gráfica de la función sería convexa, figura 2), pero en realidad esta hipótesis no se verifica en algunos casos. Por ejemplo, supongamos que tenemos un bien de primera necesidad: en ese caso cuando el precio es alto una modificación del mismo tiene mucha influencia en la cantidad demandada; sin embargo cuando es bajo ocurre lo contrario (incluso se puede llegar a un consumo de saturación, de modo que disminuciones de precio a partir de un cierto precio no impliquen un aumento de la demanda, sino que esta se mantiene constante).Es decir, la gráfica de la función será convexa en la zona de precios altos y cóncava en la zona de precios bajos.

 En la Figura 3 puede observarse lo dicho: al pasar del precio p3 a p4 la demanda desciende muy significativamente de q3 a q4, sin embargo una variación considerable en los precios bajos, como ocurre al pasar de p1 a p2 tiene una repercusión mucho menor en la demanda, que pasa de q1 a q2.

Figura 3Figura 3: Función de demanda de un bien de primera necesidad

Es importante hacer notar que habitualmente los economistas, siguiendo una tradición anglosajona, representan estas funciones con la variable independiente (el precio en este caso) en el eje de ordenadas y la dependiente (la cantidad ) en el eje de abscisas, de modo que la curva anterior se representaría como en la gráfica derecha de la Figura 3.

Función de demanda dependiente solo de la renta

Estudiemos ahora cómo varía la demanda de un bien concreto cuando los precios de todos los bienes permanecen fijos y lo que cambia es la renta del agente. Tendremos en este caso una función q = g(r) que nos dice que cantidad q demanda el consumidor de ese bien cuando su nivel de renta es r. La gráfica de esta función se denomina curva de renta-consumo o curva de Engel. Sus características dependen del tipo de bien que se esté estudiando. 

Bienes normales

Un bien es normal si su demanda aumenta cuando aumentan los ingresos, y además este aumento es menos que proporcional a la renta, es decir, a medida que esta aumenta los incrementos correspondientes de la demanda se van haciendo menores (la carne o el pescado son ejemplos). La curva de Engel de estos bienes es, por tanto creciente y cóncava (Figura 4a). En el caso de los bienes normales las curvas de demanda dependientes del precio (tal y como se representan en Economía) se irán desplazando hacia la derecha si se producen aumentos en la renta, puesto que para precios iguales aumenta la demanda al aumentar la renta (Figura 4b).

Figura 4

Figura 4: Bienes normales

Bienes inferiores

Un bien es inferior si su demanda disminuye cuando aumenta la renta. Esto ocurre, por ejemplo, con productos que son de baja calidad, y dejan de consumirse, siendo sustituidos por otros de calidad superior, cuando la renta del agente económico aumenta (la ropa de segunda mano, puede ser un ejemplo). En este caso la curva de Engel es decreciente. Las curvas de demanda dependientes del precio (tal y como se representan en Economía) se irán desplazando hacia la izquierda si se producen aumentos en la renta, puesto que para precios iguales disminuye la demanda al aumentar la renta. (Figura 5)

Figura 5Figura 5: Bienes inferiores

Bienes suntuarios

Un bien es suntuario o de lujo si su demanda aumenta cuando aumenta la renta, pero de modo mayor que proporcional, es decir, a medida que la renta va creciendo, los incrementos correspondientes de la demanda se van haciendo mayores. Su curva de Engel es por lo tanto creciente y convexa (Figura 7a ). Cuando se alcanzan ciertos niveles de renta un bien suntuario puede pasar a convertirse en un bien normal, e incluso inferior (Figura 7b)

Figura 6Figura 6: Bienes de lujo