Extensiones
Polinomios.- Extensiones
Introducción
En este documento abordaremos el cálculo de raíces de un polinomio. La resolución de las ecuaciones del tipo:
P (x) = 0, P polinomio
aparece de forma recurrente en problemas de economía y administración de empresas, por ejemplo en problemas de optimización, cálculo de equilibrios, cálculo de rentabilidad e inversiones, etc. En particular, en esta extensión, introduciremos el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) de una inversión y comprobaremos que el cálculo del último requiere resolver un problema del tipo que planteamos.
Por todos es conocido que la fórmula:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}
permite resolver la ecuación P (x) = 0 cuando P (x) es un polinomio de grado 2. Existen fórmulas similares para los polinomios de grado 3 y 4, pero en la práctica no se usan por su complejidad (la fórmula para grado 4 ocupa varias páginas). Sin embargo, no existen fórmulas para grado igual o superior a 5. Quizás en este momento, el lector se pregunte si los matemáticos continúan trabajando en la búsqueda de estas fórmulas imposibles. De hecho, este fue un problema al que los matemáticos dedicaron ingentes esfuerzos en el pasado. En 1826 N. H. Abel postuló que las ecuaciones de grado superior o igual a 5 no pueden ser resueltas por radicales (Teorema de la imposibilidad de Abel, o Teorema de Abel-Ruffini - “Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulsen.” J. reine angew. Math. 1, 65, 1826). Este teorema afirma que en general no es posible obtener un fórmula en términos de los coeficientes de la ecuación, ligados mediante operaciones elementales (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, radicales), que permita resolver la ecuación general de grado superior o igual a 5. Poco después E. Galois (”OEuvres math´ematiques d’E´ variste Galois”. Journal des mathématiques pures et appliquées XI: 381-444, 1846) determinó qué tipo de ecuaciones pueden ser resueltas por radicales, para ello asignó una estructura algebraica a cada ecuación. Pero esto, es otra historia.
Aclaremos algunas de la consecuencias del párrafo anterior:
- Las raíces de los polinomios de grado superior o igual a 5 existen (Teorema fundamental del Algebra), pero no existe fórmula general (explícita) para obtenerlas.
- Existen ecuaciones de grado superior o igual a 5 que pueden ser resueltas por radicales (operaciones elementales), pero no la ecuación general.
- La regla de Ruffini permite el cálculo de las raíces de este tipo de ecuaciones, pero es un procedimiento de tanteo inviable en la práctica.
Pero entonces, ¿cómo se calculan las raíces de este tipo de ecuaciones?. La respuesta es mediante procedimientos (algoritmos) numéricos que proponen fórmulas iterativas que consiguen aproximaciones de las raíces con una precisión preestablecida. En este documento presentaremos dos de estos procedimientos: método de la bisección (Teorema de Bolzano) y método de Newton y los emplearemos para el cálculo de la tasa interna de retorno de una inversión (TIR).
Valor Actual Neto (VAN) y Tasa Interna de Retorno (TIR)
El Valor Actual Neto (VAN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR) son dos indicadores que permiten medir la viabilidad y la rentabilidad de un proyecto o inversión.
El VAN cuantifica la rentabilidad absoluta neta que proporciona el proyecto. Para ello tiene en cuenta la inversión incial I0 y los flujos de caja {fn} n>0 a lo largo de los diferentes años de vida del proyecto. Por flujo de caja, se entiende la diferencia entre los ingresos y los gastos realizados en un periodo temporal dado como consecuencia de la inversión proyectada. Para relacionar ambas cantidades, inversión inicial y flujos de caja, debemos situarlas todas en la misma fecha. Esto se consigue actualizando al momento inicial los flujos de caja considerados a un determinado tipo de interés. Con ello, la fórmula para el cálculo del VAN es:
\mbox{VAN} = - I_0 + \sum_{n=1 }^N \frac{f_n}{(1+ r)^n} = - I_0 + \frac{f_1}{(1+r)} + \frac{f_2}{(1+r)^2} + \ldots + \frac{f_N}{(1+r)^N}
En esta fórmula N es el número de años considerados en la inversión y r es la tasa de interés.
Por ejemplo, si hacemos una estimación de ingresos de una empresa a N = 5 años, para que el proyecto sea rentable el VAN tiene que ser superior a cero, lo que indicará que recuperamos la inversión inicial y que los ingresos que genera el proyecto superan a los gastos ocasionados por el mismo.
Otro forma de medir la viabilidad/rentabilidad de una inversión es a través del criterio de la Tasa Interna de Retorno (TIR). El TIR se define como la tasa de interés que hace que el VAN se haga cero, es decir el TIR es la raíz de la ecuación:
\begin{align*} 0 & = - I_0 + \sum_{n=1 }^N \frac{f_n}{(1+ \mbox{TIR})^n} \\ &\quad \Rightarrow \quad f_N + f_{N-1} (1+ \mbox{TIR}) + f_{N-2} (1 + \mbox{TIR})^2 + \ldots f_1 (1+ \mbox{TIR})^{N-1} - I_0 (1+ \mbox{TIR})^{N} = 0 \end{align*}
Si el TIR obtenido es superior al tipo de interés del mercado de capitales, que se utiliza como referencia, la inversión es viable y produce una rentabilidad superior a la de otras alternativas. En caso contrario, no sería viable y produciría una rentabilidad inferior a la de otras posibles opciones de inversión.
Algunas autores cuestionan el uso del TIR como indicador de la calidad de la inversión de un proyecto, pues puede no existir (polinomio carece de raíces reales) o no ser único (polinomio con varias raíces). El último problema puede omitirse cuando se asume que todos los flujos son positivos, o si solo hay un cambio de signo en los coeficientes del polinomio (regla de los signos de Descartes).
Método de la bisección
El método de la bisección permite aproximar raíces de ecuaciones del tipo:
f (x) = 0, x ∈ [a, b]
El método requiere:
- f (x) función continua, en particular, si f es un polinomio esta hipótesis siempre se satisface.
- f (x) toma signo distinto en los extremos del intervalo f (a) f (b) < 0.
Notar que bajo estas hipótesis el teorema de Bolzano garantiza que existe un punto c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0. Ver Figura 1
Figura 1: La continuidad de la función y el distinto signo en los extremos del intervalo garantiza la existencia de una raíz f(c) = 0
El método de la bisección es un proceso iterativo: en cada etapa disminuye el intervalo de búsqueda a la mitad. Para ello, calcula el punto medio del intervalo, evalúa la función y selecciona el subintervalo que cumple las condiciones de partida (distinto signo en los extremos). El proceso continúa hasta que la amplitud del intervalo es inferior a una tolerancia preestablecida. El método propone entonces como aproximación de la raíz el punto medio del intervalo final. El método es sencillo, robusto, pero sin embargo es lento.
En el Cuadro 1 presentamos el algoritmo del método de la bisección y un ejemplo de generación de la sucesión de intervalos para la aproximación de la raíz de f (x) = x5- 3x2 +1 en el intervalo x ∈ (0, 1). En el Cuadro 2 aparecen los resultados que produce el método de bisección para el ejemplo anterior, para obtener una aproximación con un error de 10−6. Puede observarse que el método requiere 19 iteraciones para obtener la precisión prescrita.
Cuadro 1: Algoritmo del método de la bisección (izquierda) y ejemplo de generación de la sucesión de intervalos para la aproximación de la raíz de f (x) = x5 - 3x2 + 1, x ∈ (0, 1)
Cuadro 2: Resultados del método de la bisección para la aproximación de la raíz de f (x) = x5 − 3x2 + 1, x ∈ (0, 1). La aproximación final es x = 0.599240, con un error inferior a 10−6.
Método de Newton
Al igual que el caso anterior el método de Newton permite calcular la aproximación de una raíz del problema:
f (x) = 0
en este caso:
- f tiene que se una función derivable. Si f (x) es un polinomio esta hipótesis siempre se satisface.
- Se requiere una aproximación inicial x0 de la raíz.
Al igual que el método de la bisección, el de Newton es un método iterativo, dada la aproximación xn para calcular la aproximación xn+1 se procede del siguiente modo:
- Se evalua la función f (x) en el punto xn
- Se calcula la recta tangente a la curva f (x) en el punto (xn, f (xn)), esto es:
y − f (xn) = f'(xn)(x − xn)
3. La nueva aproximación xn+1 es el punto de corte de la recta tangente anterior con el eje OX (y = 0), es decir:
\begin{align*} \left. \begin{array}{l} y - f(x_n) = f'(x_n) (x -x_n) \\ y = 0 \end{array} \right\} \quad &\Rightarrow \quad - f(x_n) = f'(x_n) ( x - x_n) \\ &\Rightarrow \quad \fbox{$ \displaystyle x = x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $} \end{align*}
En la Figura 2 se ha representado el proceso que hemos descrito para obtener la aproximación x1 a partir de x0. Este método se caracteriza por una convergencia rápida (en ciertas condiciones, se habla de convergencia cuadrática), sin embargo, el método requiere que la aproximación lineal x0 este suficientemente cerca de la raíz, pues en caso contario el método podría fallar.
Figura 2: Iteración del método de Newton. Dado x0, se calcula la recta tangente a f (x) en el punto (x0, f (x0)). La aproximación x1 es corte con el eje OX, de la recta tangente
En la práctica, es habitual combinar los dos métodos de que hemos presentado. El método de la bisección (robusto), se utiliza para aproximarse a la raíz y el método de Newton (rápido) permite obtener una buena aproximación con pocas iteraciones.
En el Cuadro 3 presentamos el algoritmo del método de Newton, y la representación de varias iteraciones de proceso.
Cuadro 3: Algoritmo del método de Newton (izquierda) y ejemplo de generación de aproximaciones la raíz de f (x) = x5 − 3x2 + 1, siendo x0 = 0.2
En el Cuadro 4, presentamos los resultados de la aproximación de la raíz de f (x) = x5 - 3x2 + 1, partiendo de x0 = 0.2. En apenas 5 iteraciones obtenemos una aproximación con error del orden de 10−9.
Cuadro 4: Resultados del método de Newton para la aproximación de la raíz de f (x) = x5 - 3x2 + 1, con x0 = 0.2. La aproximación final es x = 0.5992410279, con un error inferior a 10−9
Aproximación del TIR
Terminaremos esta extensión con un ejemplo de una supuesta inversión donde calcularemos sus correspondientes VAN y TIR asociados con las herramientas que hemos presentado. Supongamos que se ha desarrollado un proyecto que requiere una inversión inicial I0 = 100 mil $ y que se estima que los flujos de caja los 6 primeros años vendrán dados por (en miles de $):
f1= 12, f2 = 18, f3 = 22, f4 = 30, f5 = 38, f6 = 42.
Se van a determinar el VAN para un tipo de interés de referencia r = 5 % y la TIR asociada, utilizando las expresiones ya conocidas:
\begin{align*} \mbox{VAN} &= - I_0 + \sum_{n=1 }^N \frac{f_n}{(1+ r)^n} \\ & = - 100 + \frac{12}{(1+0.05)} + \frac{18}{(1+0.05)^2} + \frac{22}{(1+0.05)^3} + \frac{30}{(1+0.05)^4} \\ & \qquad + \frac{38}{(1+0.05)^5} + \frac{42}{(1+0.05)^6} = 32. 55 \mbox{ mil \$.} \end{align*}
Con respecto al TIR, debemos resolver la ecuación:
\begin{align*} 0 &= - I_0 + \sum_{n=1 }^N \frac{f_n}{(1+ \mbox{TIR})^n} \\ & \Rightarrow \quad 0 = - 100 + \frac{12}{(1+\mbox{TIR})} + \frac{18}{(1+\mbox{TIR})^2} + \frac{22}{(1+\mbox{TIR})^3} + \frac{30}{(1+\mbox{TIR})^4} \\ & \qquad \qquad \quad + \frac{38}{(1+\mbox{TIR})^5} + \frac{42}{(1+\mbox{TIR})^6} \\ & \\ & \Rightarrow \quad 0 = 42 + 38 (1 + \mbox{TIR}) + 30 (1 + \mbox{TIR})^2 + 22 (1 + \mbox{TIR})^3 +18 (1 + \mbox{TIR})^4 \\ & \qquad \qquad \quad + 12 (1 + \mbox{TIR})^5 -100 (1 + \mbox{TIR})^6 \end{align*}
Observación En principio, podríamos aplicar el método de bisección o Newton sobre la propia de definición del TIR en lugar de sobre el polinomio que acabamos de calcular. Sin embargo, es recomendable hacerlo con el polinomio, pues la evaluación o cálculo de la derivada es un proceso más sencillo.
Antes de aplicar los métodos de bisección y de Newton vamos a dibujar (ver Figura 3) el polinomio asociado al TIR lo que nos permitirá determinar el intervalo inicial (bisección) o la aproximación incial (Newton). Puede observarse que la solución buscada está en el intevalo (0.10, 0.15).
Figura 3: Gráfica del polinomio asociado al TIR. El punto buscado esta en el intervalo (0.10, 0.15)
En el Cuadro 5 se muestran los resultados obtenidos con los métodos de bisección y de Newton. Hemos establecido como tolerancia 10−4.
Cuadro 5: Resultados del método de la bisección (izquierda) y del de Newton (derecha) para el cálculo del TIR. De nuevo apreciamos que el método de Newton requiere menos iteraciones para alcanzar la aproximación.
El valor del TIR resulta ser 0.1245 (12,5 %) de donde podemos deducir que el proyecto es viable y rentable (su valor es superior al tipo de interés de referencia r = 0.05).
Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0