2026-09-05T21:28:14Zhttps://gredos.usal.es/oai/requestoai:gredos.usal.es:10366/1725792026-08-31T00:02:07Zcom_10366_4827com_10366_4843col_10366_150364
Romero Pajero, Héctor
2026-08-27T08:57:09Z
2026-08-27T08:57:09Z
2025-07
http://hdl.handle.net/10366/172579
[ES]En las últimas décadas, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) se han consolidado
como una herramienta clave en las finanzas cuantitativas, al permitir modelar rigurosamente
la evolución dinámica e incierta de variables económicas. Este trabajo tiene como objetivo
ofrecer una introducción general al uso de EDEs en el ámbito de las finanzas.
Primero, se presentan los fundamentos del cálculo diferencial estocástico, desde el concepto
de proceso estocástico, especialmente el movimiento browniano, hasta la formula de Itô, pilar
central de esta teoría. Luego, se aborda la teoría de las EDEs, incluyendo resultados sobre
existencia y unicidad de soluciones, la resolución de ecuaciones lineales y la estabilidad de las
soluciones.
Aunque en muchos casos existe solución teórica para una EDE dada, rara vez es posible
obtener una expresión analítica explícita. Por este motivo, se introducen los principales
métodos numéricos utilizados para resolver EDEs, tales como el esquema de Euler-Maruyama
y variantes más avanzadas, los métodos de Taylor estocásticos, predictor-corrector, etc. Se
analizan sus propiedades y limitaciones.
Finalmente, se expone la aplicación directa de EDEs en la modelización financiera,
explicánndose modelos representativos como el modelo de Black-Scholes, el modelo de
Heston para volatilidad estocástica, y modelos de tasas de interés como los de Vasicek
y Cox-Ingersoll-Ross (CIR), describiendo sus características, así como propiedades de sus
soluciones. Además, se proponen métodos numéricos estocásticos diseñados para proporcionar
soluciones aproximadas conservando propiedades esenciales de la solución exacta y se presentan
simulaciones numéricas ilustrativas.
[EN]In recent decades, stochastic differential equations (SDEs) have emerged as a cornerstone of
quantitative finance, enabling rigorous modeling of the dynamic and uncertain evolution of
economic variables. This work provides a comprehensive introduction to the application of
SDEs in finance.
First, the foundations of stochastic calculus are presented, ranging from stochastic processesparticularly
Brownian motion—to Itˆo’s formula, the centerpiece of this theory. Subsequently,
the theory of SDEs is addressed, including results on the existence and uniqueness of solutions,
the analysis of linear equations, and the stability of solutions.
Although theoretical solutions exist for many SDEs, explicit analytical expressions are rarely
attainable. Therefore, key numerical methods for solving SDEs are introduced, such as
the Euler-Maruyama scheme and other advanced variants (e.g., stochastic Taylor methods,
predictor-corrector methods). Their properties and limitations are discussed.
Finally, direct applications of SDEs in financial modeling are demonstrated through
representative frameworks, including the Black-Scholes model, Heston’s stochastic volatility
model, and interest rate models such as Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Their key
features and properties of their solutions are described. In addition, stochastic numerical
methods-designed to provide approximate solutions while preserving essential properties of
the exact solution-are proposed, and illustrative numerical simulations are presented.
spa
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
info:eu-repo/semantics/openAccess
Attribution 4.0 International
Procesos estocásticos
Ecuaciones diferenciales estocásticas
Modelo CIR
Modelo de Black-Scholes
Stochastic Processes
Stochastic differential equations
CIR model
Black-Scholes model
Modelos estocásticos en finanzas
info:eu-repo/semantics/masterThesis