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Titel
Métodos de Falkner en modo predictor-corrector para la resolución de problemas de valor inicial de segundo orden (análisis e implementación)
Autor(es)
Director(es)
Schlagwort
Tesis y disertaciones académicas
Universidad de Salamanca (España)
Tesis Doctoral
Academic dissertations
Matemáticas
Maths
Clasificación UNESCO
12 Matemáticas
Fecha de publicación
2013
Fecha de defensa
fecha de d
Resumen
[ES] Las ecuaciones diferenciales ordinarias se encuentran presentes en numerosos
campos de la ciencia, pues permiten modelizar gran variedad de situaciones donde
aparece una evoluci´on temporal o espacial. Pero, lamentablemente, la soluci´on de las
ecuaciones que modelizan los fen´omenos s´olo pueden ser obtenidas anal´ıticamente
en unos pocos casos. Se hace necesario pues, recurrir a los m´etodos num´ericos (a los
que se exigir´a que sean convergentes) para poder encontrar una soluci´on aproximada
de un problema de valor inicial dado. Los m´etodos num´ericos que estudiaremos en
esta memoria tienen como objetivo encontrar los valores de la soluci´on en una red de
puntos, {ti}i∈S, de un intervalo especificado; es lo que se conoce como una soluci´on
discreta. En general s´olo podremos obtener valores aproximados de la soluci´on y(t)
en los puntos de la red elegida, los cuales denotamos en la forma usual por yi ≃ y(ti).
Desde los trabajos pioneros de Adams (1833) o de Runge (1895), el desarrollo de los m´etodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales1 ha experimentado
un constante progreso, y actualmente podemos encontrar numerosos paquetes de
software que contienen c´odigos de prop´osito general para la integraci´on de sistemas
de ecuaciones diferenciales de primer orden. Dado que una ecuaci´on diferencial de
orden n de la forma yn) = φ(t, y, y′, . . . , y n−1)) se puede escribir de manera equivalente
como un sistema de ecuaciones de primer orden, podr´ıa resolverse el problema
aplicando alguno de los c´odigos disponibles para tales sistemas (suponiendo que se
conocen los valores de la soluci´on y sus derivadas hasta el orden n − 1 en un punto
inicial t0). Ello es perfectamente v´alido y de hecho es un procedimiento usual,
pero parece m´as acertado buscar integradores num´ericos que puedan ser aplicados
directamente sin tener que transformar la ecuaci´on en el correspondiente sistema
equivalente de primer orden. Como se˜nala Henrici [59] con respecto a la llamada
ecuaci´on especial de segundo orden, y′′ = f(t, y(t)), si uno no est´a particularmente
interesado en los valores de las primeras derivadas, parece antinatural introducirlas
artificialmente.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden merecen una consideraci´on especial,
ya que aparecen muy a menudo en las ciencias aplicadas. As´ı, por ejemplo la
segunda Ley de Newton (que hace intervenir la aceleraci´on, esto es, una derivada
segunda) es la base en que se asienta la mec´anica cl´asica, y los problemas de ca´ıda
de cuerpos, de movimientos vibratorios, o del movimiento de n masas sometidas
a la acci´on de un campo de fuerzas, se plantean por medio de ecuaciones diferenciales
de segundo orden (v´ease [7]). Lo mismo sucede en la din´amica orbital, que
se ocupa de estudiar el movimiento de dos o m´as cuerpos que sometidos a la acci
´on de fuerzas perturbadoras interact´uan de acuerdo con la Ley de Newton. O con
la din´amica molecular, donde macromol´eculas como ´acidos nucleicos o prote´ınas
obedecen tambi´en la segunda Ley de Newton, y por tanto, en la descripci´on de
las trayectorias intervienen ecuaciones diferenciales de segundo orden ([79]). En un
contexto diferente, las oscilaciones el´ectricas en un circuito tambi´en se representan
por medio de ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuaci´on de Rouse
modela el movimiento de una columna de fluido en un tubo en forma de U ([113],
p´ag. 25). Y podr´ıan enumerarse muchos m´as ejemplos donde intervienen ecuaciones
diferenciales de segundo orden. Buena prueba de su importancia es el hecho de que muchas de estas ecuaciones tienen nombres propios: ecuaciones de Bessel, de Euler,
Legendre, Airy, Duffing, Mathieu, Poisson, van der Pol, Emden, Painlev´e, Dirac,
Schr¨odinger, etc´etera.
URI
DOI
10.14201/gredos.124172
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