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Título
Numerical Methods of Stochastic Differential Equations in Finance.
Otros títulos
Modelización en finanzas mediante ecuaciones diferenciales estocásticas.
Autor(es)
Director(es)
Materia
Ecuación diferencial estocástica
Finanza
Método numérico
Simulación
Stochastic differential equation
Finance
Numerical method
Simulation
Clasificación UNESCO
1206.02 Ecuaciones Diferenciales
1208.01 Matemáticas Actuariales (Mercantiles)
1208.08 Procesos Estocásticos
Fecha de publicación
2021
Resumen
[EN]The study of stochastic differential equations (SDEs) originated with a groundbreaking paper
published by Kiyosi Itô in the 1940's. In this paper, Itô defined a kind of stochastic integral,
called the Itô integral, which allowed the integration of a certain class of functions with respect
to a stochastic process. The Itô integral was later used as the basis of Itô calculus, which al lowed for the definition and study of SDEs. Since then SDEs have been used to model a wide
array of phenomena of stochastic nature in all kinds of scientific fields. In Physics, stochastic
models are in many cases a more appropriate way to describe systems that cannot be isolated
from their environment. SDEs allow the generalization of many deterministic models to their
random counterpart such as noisy radioactive decay, the noisy pendulum and the stochastic
oscillator. Models based on SDEs are also used in Biology for population growth where there
are many factors operating (immigration, diseases, war...) and a deterministic model may there fore fail to provide accurate results. The field in which SDEs have seen perhaps the biggest
success is mathematical finance, where models based on SDEs have been used to give accurate
pricing of a wide range of financial assets and to model interest rates.
In this paper we will develop the fundamental theory of SDEs and use this theory to study the
numerical solution of an important model in finance, the CIR model. In the first chapter we
construct and study some of the basic properties of one of the most important stochastic pro cesses, Brownian motion, which has been studied by some of the most influential scientific
minds and has a fundamental role in Itô calculus. The second chapter is devoted to analyzing
the central concept of Itô calculus, the Itô integral, and to prove its most important result, the
Itô formula, which is the stochastic analog of the deterministic chain rule. In the third chapter
we examine one of the only classes of SDEs with a closed form solution, linear SDEs, and
study when and how a more general SDE can be reduced to a linear one. In the fifth chapter we go through several of the most commonly used numerical methods used to approximate the
solutions of SDEs. The sixth chapter is used to introduce some of the basic concepts found in
mathematical finance as well as to survey some of the main models that have been developed
in this field. Finally, in the seventh chapter we perform a comparison of some of the most used
ways to simulate the CIR model as well as introducing another way to approximate the CIR
process. [ES]El estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) originó con un artículo pionero publicado por
Kiyosi Itô en la década de 1940. En este trabajo, Itô definió un tipo de integral estocástica, denominada
integral de Itô, que permitía la integración de una determinada clase de funciones con respecto a un proce so estocástico. La integral de Itô se utilizó posteriormente como base del cálculo de Itô, lo que permitió la
definición y el estudio de las EDS. Desde entonces, las EDS se han utilizado para modelar una amplia gama
de fenómenos de naturaleza estocástica, en todo tipo de campos científicos. En Física, los modelos estocásti cos son en muchos casos una forma más apropiada de describir sistemas que no pueden aislarse de su en torno. Las EDS permiten la generalización de muchos modelos deterministas a sus homólogos aleatorios,
como es el caso de la desintegración radiactiva ruidosa, el péndulo ruidoso y el oscilador estocástico. Los
modelos basados en EDS también se utilizan en biología para modelizar el crecimiento de una población
donde hay muchos factores difíciles de determinar (inmigración, enfermedades, guerra ...). El campo en el que las EDS han tenido quizás el mayor éxito es el de la finanza matemática, donde se han utilizado modelos basados en EDS para ofrecer precios precisos de una amplia gama de activos financieros y para modelar las tasas de interés.
En este artículo desarrollaremos la teoría fundamental de las EDS y usaremos esta teoría para estudiar la
solución numérica de un modelo muy importante en finanzas, el modelo CIR. En el primer capítulo cons truimos y estudiamos algunas de las propiedades básicas de uno de los procesos estocásticos más impor tantes, el movimiento browniano, que ha sido estudiado por algunas de las mentes científicas más influyen tes y tiene un papel fundamental en el cálculo de Itô. El segundo capítulo está dedicado a analizar el con cepto central del cálculo de Itô, la integral de Itô, y probar su resultado más importante, la fórmula de Itô,
que es el análogo estocástico de la regla de la cadena. En el tercer capítulo examinamos una de las únicas
clases de EDS con una solución analítica, EDS lineales, y estudiamos cuándo y cómo una EDS más general
puede reducirse a una lineal. En el quinto capítulo, analizamos varios de los métodos numéricos más co múnmente utilizados para aproximar las soluciones de EDS. El sexto capítulo se utiliza para introducir
algunos de los conceptos básicos que se encuentran en las finanzas matemáticas, así como para examinar
algunos de los principales modelos que se han desarrollado en este campo. Finalmente, en el séptimo capí tulo realizamos una comparación de algunas de las formas más utilizadas para simular el modelo CIR,
además de introducir otra forma de aproximar el proceso CIR.
Descripción
Trabajo Fin de Máster. Máster Universitario en modelización matemática. Curso académico 2020-2021.
URI
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Tamaño:
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Formato:
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