Numerical Methods of Stochastic Differential Equations in Finance.

Abstract

[EN]The study of stochastic differential equations (SDEs) originated with a groundbreaking paper published by Kiyosi Itô in the 1940's. In this paper, Itô defined a kind of stochastic integral, called the Itô integral, which allowed the integration of a certain class of functions with respect to a stochastic process. The Itô integral was later used as the basis of Itô calculus, which al lowed for the definition and study of SDEs. Since then SDEs have been used to model a wide array of phenomena of stochastic nature in all kinds of scientific fields. In Physics, stochastic models are in many cases a more appropriate way to describe systems that cannot be isolated from their environment. SDEs allow the generalization of many deterministic models to their random counterpart such as noisy radioactive decay, the noisy pendulum and the stochastic oscillator. Models based on SDEs are also used in Biology for population growth where there are many factors operating (immigration, diseases, war...) and a deterministic model may there fore fail to provide accurate results. The field in which SDEs have seen perhaps the biggest success is mathematical finance, where models based on SDEs have been used to give accurate pricing of a wide range of financial assets and to model interest rates. In this paper we will develop the fundamental theory of SDEs and use this theory to study the numerical solution of an important model in finance, the CIR model. In the first chapter we construct and study some of the basic properties of one of the most important stochastic pro cesses, Brownian motion, which has been studied by some of the most influential scientific minds and has a fundamental role in Itô calculus. The second chapter is devoted to analyzing the central concept of Itô calculus, the Itô integral, and to prove its most important result, the Itô formula, which is the stochastic analog of the deterministic chain rule. In the third chapter we examine one of the only classes of SDEs with a closed form solution, linear SDEs, and study when and how a more general SDE can be reduced to a linear one. In the fifth chapter we go through several of the most commonly used numerical methods used to approximate the solutions of SDEs. The sixth chapter is used to introduce some of the basic concepts found in mathematical finance as well as to survey some of the main models that have been developed in this field. Finally, in the seventh chapter we perform a comparison of some of the most used ways to simulate the CIR model as well as introducing another way to approximate the CIR process.

[ES]El estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) originó con un artículo pionero publicado por Kiyosi Itô en la década de 1940. En este trabajo, Itô definió un tipo de integral estocástica, denominada integral de Itô, que permitía la integración de una determinada clase de funciones con respecto a un proce so estocástico. La integral de Itô se utilizó posteriormente como base del cálculo de Itô, lo que permitió la definición y el estudio de las EDS. Desde entonces, las EDS se han utilizado para modelar una amplia gama de fenómenos de naturaleza estocástica, en todo tipo de campos científicos. En Física, los modelos estocásti cos son en muchos casos una forma más apropiada de describir sistemas que no pueden aislarse de su en torno. Las EDS permiten la generalización de muchos modelos deterministas a sus homólogos aleatorios, como es el caso de la desintegración radiactiva ruidosa, el péndulo ruidoso y el oscilador estocástico. Los modelos basados en EDS también se utilizan en biología para modelizar el crecimiento de una población donde hay muchos factores difíciles de determinar (inmigración, enfermedades, guerra ...). El campo en el que las EDS han tenido quizás el mayor éxito es el de la finanza matemática, donde se han utilizado modelos basados en EDS para ofrecer precios precisos de una amplia gama de activos financieros y para modelar las tasas de interés. En este artículo desarrollaremos la teoría fundamental de las EDS y usaremos esta teoría para estudiar la solución numérica de un modelo muy importante en finanzas, el modelo CIR. En el primer capítulo cons truimos y estudiamos algunas de las propiedades básicas de uno de los procesos estocásticos más impor tantes, el movimiento browniano, que ha sido estudiado por algunas de las mentes científicas más influyen tes y tiene un papel fundamental en el cálculo de Itô. El segundo capítulo está dedicado a analizar el con cepto central del cálculo de Itô, la integral de Itô, y probar su resultado más importante, la fórmula de Itô, que es el análogo estocástico de la regla de la cadena. En el tercer capítulo examinamos una de las únicas clases de EDS con una solución analítica, EDS lineales, y estudiamos cuándo y cómo una EDS más general puede reducirse a una lineal. En el quinto capítulo, analizamos varios de los métodos numéricos más co múnmente utilizados para aproximar las soluciones de EDS. El sexto capítulo se utiliza para introducir algunos de los conceptos básicos que se encuentran en las finanzas matemáticas, así como para examinar algunos de los principales modelos que se han desarrollado en este campo. Finalmente, en el séptimo capí tulo realizamos una comparación de algunas de las formas más utilizadas para simular el modelo CIR, además de introducir otra forma de aproximar el proceso CIR.