Cálculo de variaciones y aplicaciones.

Abstract

[ES]Se conoce como cálculo de variaciones a la rama de las matemáticas que estudia las funciones que maximizan o minimizan el valor de una funcional definida sobre un determinado espacio, así como las técnicas utilizadas para encontrar estos extremos. En esta memoria se abordan las condiciones necesarias para la existencia de extremo de una funcional, desde dos perspectivas: una analítica, en la que se aplican herramientas del análisis funcional y la teoría general de ecuaciones diferenciales ordinarias; y otra geométrica, a partir del formalismo de 1-jets de secciones de fibrados. Además, desde el enfoque analítico se estudian los problemas variacionales condicionados, en el caso general para las ligaduras holónomas, y para una única variable real para las no holónomas. Para ilustrar los distintos capítulos del trabajo, se han resuelto algunos problemas clásicos como el cálculo de geodésicas, el problema de la braquistocrona, el problema isoperimétrico o el de la cuerda vibrante. Finalmente, se presenta el teorema de noether en el lenguaje de jets como consecuencia de la teoría desarrollada y como llave de paso a posibles aplicaciones en teoría de campos.