Método k.p aplicado al Arseniuro de Galio (GaAs)

Abstract

[ES]Este trabajo trata de introducir la teoría del método ~k.~p para el cálculo de estructura de bandas de semiconductores, en concreto al Arseniuro de Galio. Los tres métodos más utilizados para el cálculo de bandas son "tight-binding", pseudopotencial y el método ~k.~p. En el caso del método ~k.~p se escoge una base formada por funciones Bloch mientras que en los otros dos se toman estados atómicos o ondas planas respectivamente. Cada uno de los tres métodos tiene sus ventajas y desventajas. No se pretende realizar un estudio ni una exposición exhaustiva del método ~k.~p, si no más bien familiarizarse con la metodología de la teoría y mostrar como se pueden obtener buenos resultados aplicando al caso concreto del Arseniuro de Galio. Este trabajo comienza deduciendo la expresión del hamiltoniano que da nombre al método, particularizando la ecuación de Schrödinger para funciones tipo Bloch y seguidamente se hace lo mismo con la ecuación de Dirac para obtener una expresión equivalente que tiene en cuenta la interacción espín-órbita. Fijada una base de estados Bloch se estudian los términos matriciales del hamiltoniano ~k.~p en dicha base haciendo uso de argumentos de simetría y teoría de representaciones irreducibles. Estar familiarizado con la teoría de representaciones irreducibles sin duda ayuda para seguir las deducciones de este trabajo pero no es un requisito necesario ya que se puede entender en función de argumentos de simetría. Seguidamente se aplica la teoría de perturbaciones de Löwdin, que puede encontrarse en el apéndice A, que es necesaria para obtener resultados correctos. La necesidad de la teoría de Löwdin radica en que la base considerada es una base finita y es necesario tener en cuenta la interacción de los estados cercanos en energía mediante perturbaciones. Posteriormente se estudia la interacción espín-órbita calculando la expresión matricial de la interacción en la base de funciones propias del momento angular total (J; Jz) asi como la matriz del cambio de base de la base original a dicha base.Finalmente se presentan los resultados obtenidos mediante cálculos por ordenador para cinco modelos distintos: un primer modelo en el que se consideran la primera banda de conducción y tres bandas de valencia, un segundo modelo en el que se consideran las cuatro bandas anteriores y tres bandas de conducción adicionales, un tercer modelo en el que se tiene en cuenta la interacción espín-órbita para el primer modelo, un cuarto modelo que considera un término adicional proveniente de la interacción espín-órbita para el tercer modelo y un quinto modelo que tiene en cuenta la interacción espín órbita para el segundo modelo. Los resultados obtenidos incluyen bandas de energía a lo largo de los ejes ∆, Λ y Σ, representación tridimensional de las bandas y líneas isoenergéticas en un plano, valores de masas efectivas para cada banda en el punto Γ y dependencia del tensor de masa efectiva con el vector de onda a lo largo de los ejes ∆, Λ y Σ.

[EN]The aim of this work is to be an introducction to the ~k.~p theory for calculation of band structure of semiconductors, especi cally of Gallium Arsenide. The three main conventional methods for calculation of band structure are tight-binding, pseudopotential and ~k.~p method. Each method chooses a diferent tipe of functions for the basis: atomic-like, plane waves, and Bloch states, respectively. Each of the methods have their advanteges and desadvanteges. This work is not an exhaustive study of the ~k .~p method but rather a way to get familiar with the metodology of the theory and show how good results can be obtain in the particular case of Gallium Arsenide. In Chapter 2 we develop the theorical framework of the k.p theory. In Section 1 of chapter 2 the ~k.~p expresion of the hamiltonian is deduced by particularizing the Schrödinger's equation for Bloch functions and the same is done with Dirac's equation to obtain an analogous expression that takes into account the spin-orbit intereaction. In Section 2, a basis of Bloch states is xed and then we study which terms of ~k.~p operator are equal or not equal to zero in that base by making use of simmetry arguments and irreductible representation theory. A knowledge of irredectible representations theory is rather useful but not strictely necessary for the understanding of this work. In Section 3 we make use of Löwdin perturbation theory, that can be found in Appendix A, to perturb the basis in order to obtain good results. The Lödwin perturbation must be included due to the fact that the choosen basis is rather small and one has to take into account the energy-near states by including the perturbation that those states induce in the basis. In section 4 we study the spin-orbit interaction and deduce the matrix elements of the interaction in the basis of eigenfunctions of total angular momentum (J; Jz) as well as the change of basis matrix that connects this basis with the original basis. In section 5 we present que nal form of the hamiltonian and the parameters use in the calculations. In section 6 we discuss the commutation relation between Jz and ~k.~p Finally we present the results obtained via computer calculations for five diferent models: in the first model, the first conduction band and three valence bands are considered, in the second model, the four previous bands and three additional conduction bands are considered, in the third model, we consider the first model but taking into account the spin-orbit interaction, in the fourth model, we consider the third model but taking into account an additional term wich follows from the spin-orbit interaction and in the fth model we consider the second model but taking into account the spin-orbit interaction.