Análisis numérico del método de diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

[ES]Esta monografía está dedicada al Análisis Numérico del Método de Diferencias Finitas para Ecuaciones en Derivadas Parciales. En el capítulo 1 se tratan problemas parabólicos en dimensión 1 espacial con coeficientes constantes y nos sirve de introducción a los conceptos básicos de consistencia, estabilidad y convergencia. En el capítulo 2 se abordan ya los problemas parabólicos con coeficientes variables y con diversas condiciones de contorno. Introducimos métodos de análisis de estabilidad más generales, en particular el análisis de estabilidad en la norma de la energía y en la norma del máximo. En el capítulo 3 extendemos los análisis anteriores a problemas en dimensión espacial mayor que 1. Introducimos también en este capítulo el método de direcciones alternadas. El capítulo 4 está dedicado a problemas elípticos de segundo orden, que aparecen típicamente en los problemas estacionarios de difusión. Realizamos el análisis de estabilidad en la norma de la energía y también utilizamos el principio del máximo para obtener la estabilidad en la norma del máximo. Finalmente vemos como el método de direcciones alternadas se puede considerar aquí. En definitiva en este contexto el método de direcciones alternadas es un método iterativo para resolver el sistema de ecuaciones algebraico correspondiente y estudiamos la convergencia. En el capítulo 5 se estudia el Método de Diferencias Finitas para resolver problemas hiperbólicos. En una primera sección se estudian brevemente aspectos generales de las ecuaciones hiperbólicas lineales, resaltando la posibilidad de considerar soluciones no continuas, lo que lleva a la introducción de soluciones generalizadas. En una primera subsección dedicada a métodos numéricos para problemas de primer orden nos limitamos a métodos explícitos de los que damos varios ejemplos. Estos se pueden encuadrar en un método general de 2l+1pasos. Analizamos la consistencia, estabilidad y convergencia de algunos de ellos. En una subsección aparte estudiamos la resolución numérica mediante el Método de Diferencias Finitas de la ecuación de ondas, que es un ejemplo de problema hiperbólico de segundo orden. Nos limitamos también a analizar un método explícito. La parte principal de este capítulo 5 se dedica a los problemas hiperbólicos de primer orden no lineales. En particular se requiere introducir la noción de solución débil y un análisis detallado de estas soluciones. Notablemente el problema de valor inicial asociado a una ecuación hiperbólica no lineal no tiene solución única requiriendo condiciones adicionales para asegurar la unicidad, como es la condición de entropía. Entre todas las soluciones matemáticamente posibles la solución entrópica será la físicamente aceptable. Los métodos numéricos tendrán que adaptarse a esta situación y asegurarse que las soluciones numéricas obtenidas convergen a la solución entrópica.