Integrabilidad de osciladores con nolinealidad cúbica y coeficientes variables.

Abstract

[ES]La integrabilidad de los sistemas dinámicos constituye sin lugar a dudas una rama de extremo interés en física y matemáticas. Esto es debido a la amplia variedad de propiedades que presentan desde ambos puntos de vista. El poder predictivo que se puede aportar gracias a estudios asociados a este tema es sumamente útil. Podemos encontrar dinámica en cualquier campo de la ciencia. Las diversas y numerosas interacciones entre las partes que constituyen un sistema físico constituyen una fuente de no linealidad y complejidad, que añadido a la dependencia sensible a las condiciones iniciales característica del comportamiento caótico, conllevan un cambio de perspectiva de los sistemas dinámicos con importantes consecuencias en la compresión de la ciencia. La dinámica no lineal es la disciplina que estudia los sistemas dinámicos no lineales, que son aquellos sistemas que definidos por una o más variables, evolucionan en el tiempo de tal manera que la “salida” no es proporcional a la “entrada”. Como es natural, existen tantos sistemas dinámicos como variables que tienen una evolución temporal, reflejándose la naturaleza interdisciplinar y el alcance de la dinámica no lineal. Utilizamos el término “no lineal” para contraponerlo evidentemente al término “lineal”. Este último denota propiedades como proporcionalidad (causas cuantitativamente pequeñas provocan efectos cuantitativamente pequeños), aditividad, repetición o replicación (la misma acción en las mismas condiciones produce el mismo resultado), y relaciones claras y relativamente triviales entre causa y efecto. Sin embargo, en la naturaleza encontramos muchas relaciones que no son lineales y nos llevan a situaciones muy diferentes. Una relación de proporcionalidad entre dos variables x e y donde y=kx$ indica una relación lineal. Por tanto, toda relación entre dos variables que no responda a una relación de proporcionalidad como la anterior será no lineal. Lo más general es que un sistema dinámico sea no lineal. Luego cuando existen relaciones de no linealidad, puede darse un comporta miento caótico caracterizado por propiedades contrapuestas a las anteriores: ausencia de proporcionalidad (pequeñas causas pueden provocar gran des efectos), no existe la aditividad, y dependencia sensible a las condiciones iniciales, lo que puede generar inestabilidades, discontinuidades e imprevisibilidad. Es útil estudiar la dinámica no lineal a través de un ejemplo de gran interés como el oscilador de tipo Duffing, ya que modela muchos sistemas físicos realistas y sencillos, tales como un péndulo de doble resorte o un péndulo amortiguado y forzado. Además, a pesar de su engañosa simplicidad con sólo un término cúbico no lineal, las formas de su comportamiento pueden ser muy diversas. Por otra parte, el sistema es susceptible de tratamiento analítico en determinados casos. Conectado con el oscilador de duffing está el famoso atractor duffing, un conjunto invariante que mantiene la misma estructura para diferentes condiciones iniciales en la cuenca de atracción que conducen a trayectorias caóticas.

[EN]The integrability of dynamical systems is undoubtedly a branch of extreme interest in physics and mathematics. This is due to the wide variety of properties that they present from both points of view. The predictive power that can be provided by studies associated with this subject is extremely useful. We can find dynamics in any field of science. The diverse and numerous interactions between the parts that constitute a physical system are a source of nonlinearity and complexity, which, added to the sensitive dependence on initial conditions, characteristic of chaotic behavior, lead to a change in perspective towards dynamical systems with important consequences in the understanding of science. Nonlinear dynamics is the discipline that studies nonlinear dynamical systems, which are those systems whose "output" state after time evolution is not proportional to the "input". Naturally, there are as many dynamical systems as there are variables that have a time evolution, which makes us wonder about the interdisciplinary nature and scope of nonlinear dynamics. We use the term "nonlinear" in contradistinction to the term "linear". The latter denotes properties such as proportionality (quantitatively small causes cause quantitatively small effects), additivity, repetition or replication (the same action under the same conditions produces the same result), and clear and relatively trivial relationships between cause and effect. However, in nature we find many relationships that are not linear and lead to very different situations. A proportionality relationship between two variables x and y, where y=kx, indicates a linear relationship. Therefore, any relation between two variables that does not respond to such proportionality will be nonlinear. The most general situation is that a dynamical system is nonlinear. When nonlinear relationships exist chaotic behavior can occur, characterized by properties opposed to the previous ones: lack of proportionality (small causes can cause large effects), there is no additivity, and sensitive dependence to initial conditions which can generate instabilities, discontinuities and unpredictability. It is useful to study nonlinear dynamics through an example of great interest such as the duffing type oscillator, since it models many realistic and simple physical systems, for example, a double spring pendulum or a damped and forced pendulum. Moreover, despite its deceptive simplicity with only the cubic nonlinear term, its behavior can be very diverse. On the other hand, the system is susceptible of analytical treatment in certain situations. Connected with the duffing oscillator is the famous duffing attractor, an invariant set that maintains the same structure for different initial conditions in the basin of attraction leading to chaotic trajectories.