Sistemas separables en espacios con curvatura constante: Integrabilidad y Superintegrabilidad.

Abstract

[ES]Se estudian los sistemas Hamiltonianos naturales definidos en variedades con curvatura constante que presentan superintegrabilidad, es decir, un número de integrales primeras independientes superior al número de grados de libertad del sistema. Se analizan los sistemas de Tipo Liouville y se profundiza en la relación entre la superintegrabiliad y separabilidad en m´as de un sistema de coordenadas. Como ejemplo paradigmático, se estudia el problema de Kepler definido en el plano, en la esfera y en el plano de Lobachevskii. En el caso plano, el problema de Kepler puede ser obtenido como límite del problema de dos centros Newtonianos en varias formas no equivalentes. Se extiende este resultado al caso de variedades con curvatura constante, analizando los sistemas de coordenadas obtenidos en cada caso.

[EN]We study the Natural Hamiltonian systems defined in manifolds of constant curvature. We center our attention in systems that exhibit superintegrability, that is, the number of independent first integrals is higher than the degrees of freedom of the system. We analyse the Liouville-Type systems and we provide for more in-depth detail in the relation of superintegrability and separability in more than one system of coordinates. As a paradigmatic example, we study the Kepler problem, defined in the plane, in the sphere and in the Lobachevskii plane. In the planar case, the Kepler problem can be obtained as the limit of two Newtonian centers system in non-equivalent forms. We extend this result to spaces of constant curvature, analysing the coordinate systems obtained in each case.