High performance of the generalized finite difference method and applications

Abstract

[ES] En esta tesis se aborda la resolución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden en 2D y 3D por el Método de las Diferencias Finitas Generalizadas (MDFG) utilizando aproximaciones de tercer y cuarto orden. En primer lugar, se analiza la influencia del número de puntos por estrella y se establecen algunos valores a modo de referencia. En segundo lugar, se ha desarrollado una nueva estrategia para detectar y tratar estrellas mal condicionadas, las cuales pueden aparecer con frecuencia cuando se utilizan aproximaciones de orden superior. Esta estrategia utiliza una cantidad de puntos por estrella menor que los establecidos como referencia y presenta excelentes resultados detectando estrellas mal condicionadas, aumentando la precisión de la aproximación numérica y reduciendo el coste computacional. Para implementar el algoritmo, se han utilizado buenas prácticas de programación junto con las aproximaciones de orden superior en el MDFG para reducir el coste computacional en diferentes etapas del cálculo. Por otro lado, se ha desarrollado una estrategia para obtener discretizaciones adaptadas al problema concreto que se desea resolver. Esta estrategia distribuye los puntos en el dominio conforme a los valores del gradiente, lo que permite usar una discretización con un menor número de puntos, reduciendo así el coste computacional y manteniendo la precisión que se alcanzaría con discretizaciones más finas donde los puntos se distribuyen más homogéneamente. Además, se ha desarrollado un algoritmo adaptativo para problemas en 3D con aproximaciones de cuarto orden a partir de discretizaciones iniciales irregulares. Se han comparado los resultados del algoritmo propuesto con los del algoritmo de puntos añadidos a media distancia. En todas las aplicaciones, se ha conseguido una mayor precisión junto con una disminución del número final de puntos y del tiempo computacional. Finalmente, para probar el desempeño del algoritmo en un problema real se ha evaluado la respuesta sísmica en aerogeneradores terrestres empleando el MDFG acoplado con el método de Newmark. Se han comparado los datos del desplazamiento transversal con un modelo basado en el método de los elementos finitos utilizando el programa ABAQUS. Los resultados son esencialmente idénticos y muestran la validez del modelo propuesto en el MDFG.