Evaluación de algoritmos de simulación Montecarlo del modelo de Ising.

Abstract

[ES]El modelo de Ising es un modelo físico el cual reproduce el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Es un modelo que ha sido ampliamente estudiado en las últimas décadas, y es de gran uso en física estadística por su sencillez y por la característica fenomenología que posee. El modelo de Ising consiste en la representación de un imán a partir de un conjunto de spines, los cuales solamente tienen dos orientaciones posibles: estarán orientados bien hacia arriba o hacia abajo. A lo largo de este trabajo, se estudiará el modelo de Ising bidimensional, tratando con un modelo de red cuadrada, y en ausencia de campo magnético externo. Estas condiciones hacen que el modelo posea una fenomenología característica, que se manifiesta en la existencia de una transición de fase en la conocida como temperatura crítica, Tc . De este modo, el sistema, que es ferromagnético por debajo de la temperatura crítica, pasa a una fase paramagnética una vez se ha superado dicha temperatura, lo que hace que el estudio de sus propiedades en torno a Tc sea de especial interés. Para realizar el estudio del mencionado modelo de Ising se hará uso de técnicas de simulación Montecarlo, empleando dos algoritmos diferentes, ambos bien conocidos. El primero de ellos es el algoritmo de Metropolis, basado en realizar cambios simples sobre el sistema, ya que las variaciones sobre el sistema que se estudian solamente implican el cambio de orientación de un spin cada vez. Se propondrá dar la vuelta a un spin elegido de manera aleatoria, lo que sucederá con una probabilidad concreta, que dependerá de diversos factores como la temperatura a la que se encuentre el sistema o si el cambio en la orientación del spin supone un aumento o una disminución sobre la energía total del sistema. El otro algoritmo que se empleará en el trabajo es el conocido como algoritmo de Wolff. En este caso, el algoritmo se basa en construir un cluster, o grupo de spines juntos que tienen una misma orientación, y darle la vuelta por completo, de modo que cambie la orientación de todos los spines que lo conforman. El tamaño de los clusters tendrá una gran dependencia con la temperatura del sistema, de modo que para bajas temperaturas, un cluster podrá contener una gran cantidad de spines, mientras que a altas temperaturas los clusters podrán estar formados por un reducido número de spines, De este modo, se construyen y optimizan los programas asociados a los dos algoritmos men cionados anteriormente, de modo que se miden magnitudes características del modelo de Ising como es el caso de la energía, la magnetización, el calor específico o la susceptibilidad magnéti ca, y se analiza como varían en función del tamaño del sistema o de la temperatura del mismo. También se lleva a cabo un estudio para cuantificar los tiempos de correlación asociados a ambos algoritmos, así como para medir los errores asociados a las medidas tomadas, que pueden calcu larse de diferentes maneras según el caso. También se analizará el tiempo de ejecución total de los programas utilizados. Esto permitirá determinar qué algoritmo utilizar en función del tamaño del sistema o del intervalo de temperatura en el que nos interese realizar un estudio.

[EN]Ising model is a physical model which reproduces the behaviour of ferromagnetic materials. It is a model that has been deeply studied in the last decades, and it is widely used in statistical physics because of its simplicity and its characteristic phenomenology. Ising model consists of the representation of a magnet from a set of spins, which have only two possible orientations: they will be oriented either up or down. Throughout this work, the two-dimensional Ising model will be studied, dealing with a squa re lattice model, and in absence of an external magnetic field. These conditions make the mo del to possess a characteristic phenomenology, which manifests itself in the existence of a phase transition at the critical temperature, Tc . Thus, the system, which is ferromagnetic below the cri tical temperature, changes to a paramagnetic phase once this temperature has been overcome, which makes the study of its properties around Tc of special interest. In order to study the Ising model, Monte Carlo simulation techniques will be used, employing two different algorithms, both of which are well known. The first of these is the Metropolis algo rithm, based on making simple changes to the system, since the variations on the system being studied only involve changing the orientation of one spin at a time. A randomly chosen spin will be proposed to be flipped, which will happen with a specific probability, depending on various factors such as the temperature at which the system is located or whether the change in spin orientation involves an increase or a decrease in the total energy of the system. The other algorithm that will be used in this work is known as Wolff algorithm. In this case, the algorithm is based on building a cluster, or group of spins that have the same orientation, and turning it completely around, so that the orientation of every spin in it changes. The size of the clusters will have a strong dependence on the temperature of the system, so that at low temperatures, a cluster may contain a big number of spins, while at high temperatures the clusters may consist of a small number of spins. In this way, the programmes associated with the two mentioned algorithms are constructed and optimised, so that characteristic magnitudes of the Ising model are measured, such as energy, magnetisation, specific heat or magnetic susceptibility, and it is analysed how they vary as a fun ction of the size of the system or its temperature. A study is also carried out to quantify the corre lation times associated with both algorithms, as well as to measure the errors associated with the measurements taken, which can be calculated in different ways depending on the case. The total execution time of the programs used will also be analysed. This will allow us to determine which algorithm to use depending on the size of the system or the temperature range in which we are interested in carrying out a study