Métodos de Taylor en ecuaciones diferenciales estocásticas.

Abstract

[ES]Este trabajo tiene como objetivo dar una introducción teórica y práctica a los métodos numéricos que son utilizados para la resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas, en particular nos centraremos en el estudio de los métodos de Itô-Taylor. Veremos que estos métodos son en realidad una generalización de los métodos de Taylor para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para llevar a cabo esta tarea se dará un breve capítulo con los conceptos básicos del cálculo de Itô, que serán necesarios para desarrollar la teoría posterior. Algunas de las herramientas principales serán la definición de integral de Itô o de la fórmula de Itô. Posteriormente, definiremos de manera general los métodos de Itô-Taylor y daremos algunos ejemplos ampliamente conocidos como el método de Euler-Maruyama y el método de Milstein, entre otros. Finalmente, en el último capítulo se mostrarán algunas simulaciones que permitirán poner en práctica la teoría desarrollada a lo largo del trabajo. En resumen, este trabajo aporta una introducción sólida a los métodos de Itô-Taylor sin olvidar un en foque riguroso y práctico, que permite al lector profundizar en este campo tan reciente de las matemáicas.

[EN]This paper aims to give a theoretical and practical introduction to the numerical schemes that are used for the resolution of stochastic differential equations, in particular we will focus on the study of the Itô-Taylor schemes. We will see that these numerical methods are in fact a generalization of Taylor's schemes for the numerical solution of ordinary differential equations. In order to carry out this task, a brief chapter will be given with the basic concepts of the Itô calculus that will be necessary to develop the subsequent theory. Some of the main tools will be the definition of the Itô integral and the Itô formula. Afterwards, we will define in a general way the Itô-Taylor schemes and we will give some known examples such as the Euler-Maruyama scheme, the Milstein scheme and others. Finally, in the last chapter we will show some simulations that will allow us to put into practice the theory developed throughout the work. In summary, this work provides a solid introduction to the Itô-Taylor methods without forgetting a rigorous and practical approach that allows the reader to go deeper into this very recent field of mathematics.