Funciones zeta de sucesiones de recurrencia lineal asociadas a irracionales algebraicos

Abstract

[ES] La memoria está estructurada de la forma siguiente: el capítulo 1 es un compendio de las bases teóricas y muchos resultados previos que son necesarios, o conviene conocer, para abordar el resto del trabajo; el capítulo 2 contiene el estudio exhaustivo de la función zeta φa(s) asociada a una sucesión de recurrencia a, así como los principales teoremas; en el capítulo 3, habiendo estudiado ya la función zeta φa(s), se generaliza este estudio a las funciones de tipo Hurwitz y de tipo Lerch, definidas respectivamente por las series de Dirichlet siguiendo el ejemplo de la teoría clásica de la función zeta de Hurwitz y la trascendente de Lerch. El trabajo termina con el capítulo 4, donde se mezclan algunos resultados más que tienen que ver con el comportamiento especial de las funciones zeta de sucesiones de recurrencia cuadráticas, que son ligeramente distintas de las de grado superior, y algunos temas que se podrían enmarcar como "futuras investigaciones", esto es, una pequeña exposición sobre algunos aspectos en los que no hay aún resultados demostrados, pero sí cosas que comentar. Respecto a la investigación futura, en la sección 4.2 estudiamos la pregunta de dónde tiene ceros la función φa(s) y vemos que, en el caso de una sucesión cuadrática, las evaluaciones numéricas experimentales sugieren que la estructura es similar a la de una función elíptica (aunque solamente en el semiplano izquierdo, no en todo el plano): un cero por cada polo, y "más o menos" en la misma posición a lo largo de todo el semiplano. También se dan algunas indicaciones de cómo podría demostrarse que esto es así. Por último, en la sección 4.3 explicamos más a fondo lo que ya hemos mencionado sobre la serie de Dirichlet de Hecke en el contexto de la aproximación diofántica y la distribución de sucesiones módulo 1.