Modelos estocásticos en dinámica de poblaciones

Abstract

[ES]Este trabajo se enfoca en el uso de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) para modelar diversas dinámicas de crecimientopoblacional. Comienza con un capítulo preliminar dedicado al cálculo estocástico en el sentido de Itô, abordando procesos de Wiener, la integral de Itô y el cálculo diferencial estocástico, fundamentales para entender y aplicar las EDE. El siguiente capítulo estudia modelos específicos de crecimiento poblacional como el de Malthus, el modelo logístico y el modelo CIR, explorando cómo estos modelos pueden ser formulados y analizados mediante EDE. Debido a las dificultades para obtener soluciones explícitas, se analizan en un tercer capítulo métodos numéricos para la aproximación de EDE, incluyendo esquemas iterativos y adaptativos para mejorar la precisión en la simulación de estas dinámicas. Finalmente, se presentan experimentos numéricos en el último capítulo, realizados con el software Mathematica, donde se comparan los resultados obtenidos mediante diferentes esquemas numéricos. El objetivo es evaluar la eficacia de estos métodos en la aproximación de soluciones para problemas específicos de crecimiento poblacional, destacando la utilidad práctica de las EDE en la modelización de fenómenos biológicos y ecológicos complejos.

[EN]This work focuses on the use of stochastic differential equations (SDE) to model various dynamics of population growth. It begins with a preliminary chapter dedicated to stochastic calculus in the sense of Itô, covering Wiener processes, Itô's integral and stochastic differential calculus, essential for understanding and applying SDE. The subsequent chapter examines specific models of population growth such as Malthusian growth, the logistic model, and the square root model with mean reversion (CIR), exploring how these models can be formulated and analyzed using SDE. Due to the challenges in obtaining explicit solutions, a third chapter reviews numerical methods for approximating SDE, including iterative and adaptive schemes to enhance accuracy in simulating these dynamics. Lastly, numerical experiments are presented in the final chapter, conducted using Mathematica software, to compare results obtained from different numerical schemes. The goal is to assess the effectiveness of these methods in approximating solutions for specific population growth problems, highlighting the practical utility of SDE in modeling complex biological and ecological phenomena.