Paradoja de Parrondo: estudio, avances y aplicaciones

Abstract

[ES]La paradoja de Parrondo es un interesante resultado en el campo de la teoría de juegos. Tradicionalmente la teoría de juegos se refiere a una rama de la toma de decisiones en la que están implicados dos o más jugadores afectando las decisiones de cada uno de ellos a los resultados de todos. Sin embargo, en este caso se considera un único agente que puede ganar o perder. La paradoja expresa que, bajo ciertas condiciones, la combinación aleatoria o determinística de dos juegos perdedores (que hacen que, por ejemplo, el agente pierda capital) resulte en un juego ganador (hace que el agente gane capital). Tiene su origen en el descubrimiento del efecto ratchet y su posterior aplicación por J.M.R.Parrondo al caso discreto tanto temporal como espacialmente, aunque la formalización de la paradoja como tal se dio de la mano de Abbott y Harmer en 1999. Uno de los juegos consiste en el lanzamiento de una moneda ligeramente sesgada hacia una de sus caras, de modo que la probabilidad de que el jugador gane es algo menor que ½. Este sesgo en la moneda puede ser controlado mediante un parámetro. El segundo juego se representa con dos monedas sesgadas. Una de ellas se utiliza si el capital no es múltiplo de 3 y tiene probabilidad de ganar algo menor que 1/10. La otra moneda se elige si el capital es múltiplo de 3 y tiene una probabilidad de ganar algo menor que ¾. Los sesgos de ambas monedas también están controlados por dicho parámetro. Ambos juegos resultan ser perdedores con las probabilidades mencionadas mientras que su combinación es ganadora (para ciertos valores del parámetro). En este trabajo exploramos y probamos numéricamente los principales resultados asociados a la paradoja, hacemos una breve revisión de diversas aplicaciones de la materia en otros campos científicos y, además, proponemos algunos resulta-dos originales. Comenzamos con las cuestiones teóricas necesarias en diversos resultados sobre cadenas de Markov y contextualizamos la paradoja insistiendo en su origen y en las condiciones necesarias para su realización. A continuación estudiamos los diversos tipos de juegos desarrollados a partir de los iniciales: juegos dependientes de la historia, en los que el jugador tiene memoria de los resultados en los dos turnos previos; y los juegos cooperativos, en los que se consideran varios jugadores y la probabilidad de ganar de cada uno de ellos depende del resultado de sus jugadores vecinos. El mayor aporte del trabajo está en algunos nuevos resultados: el estudio del parámetro de aleatorización de los juegos y la combinación de tres juegos (perdedores) que da lugar al mismo resultado paradójico. Todas las simulaciones numéricas realizadas se han llevado a cabo con Mathematica y Python, recogiéndose los códigos a modo de anexos en la memoria.

[EN]Parrondo’s Paradox is an interesting result in the field of game theory. Traditionally, game theory refers to a branch of decision-making involving two or more players, where each player’s decisions affect the outcomes for all. However, in this case, a single agent is considered and can either win or lose. The paradox states that, under certain conditions, the random or deterministic combination of two losing games (each of them causing the agent, for example, to lose capital) results in a winning game (causing the agent to win capital). The paradox originates from the discovery of the ratchet effect and its subsequent application by J.M.R. Parrondo to the discrete both temporally and spatially, although the formalization of the paradox itself was carried out by Abbott and Harmer in 1999. One of the games involves the toss of a slightly biased coin, in such a way that the probability of the player winning is slightly less than ½. This bias in the coin can be controlled by a parameter. The second game is represented with two biased coins. One coin is used if the capital is not a multiple of 3 and has a probability of winning slightly less tan 1/10. The other coin is used if the capital is a multiple of 3 and has a probability of winning slightly les than ¾. The biases of both coins are controlled by the same parameter. Both games turn out to be losing with the mentioned probabilities, while their combina-tion (for certain values of the parameter) is a winning game. In this project, we numerically explore and test the main results associated with the paradox, briefly review various appli-cations of the subject in other scientific fields and propose some original results. We begin with the necessary theoretical issues in various results on Markov chains and contextualize the paradox by emp-hasizing its origin and the necessary conditions for its realization. Next, we study the various types of games developed from the initial ones: history-dependent games, in which the player remembers the results of the previous two turns; and cooperative games, in which several players are considered, and the probability of each player winning depends on the results of his neighbours. The major contribution of this work lies in some new results: the study of the randomization parameter of the games and the combination of three (losing) games that leads to the same paradoxical results. The numerical simulations have been carried out using Mathematica and Python, with the codes included as appendices in the report.