Physics-informed neural networks: estudio teórico y aplicaciones

Abstract

[ES]Las redes neuronales son modelos matemáticos cuyo desarrollo y aplicación en los últimos años han experimentado un importante crecimiento debido a su versatilidad y eficacia en la resolución de problemas en múltiples ámbitos. Las redes neuronales tratan de aproximar una cierta función objetivo mediante una serie de datos provenientes de esta, de manera que ajusten lo más correctamente posible los datos desconocidos. Realizaremos un estudio acerca de las redes neuronales, analizaremos sus estructura y su funcionamiento, que se basa en la resolución de un problema de optimización y detallaremos algunos resultados teóricos que garantizan la precisión en la aproximación de las redes neuronales. Existe un tipo de red neuronal diseñada específicamente para la resolución de problemas f´sicos basados en ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), las denominadas Physics-informed neural networks (PINN), que permiten incluir la estructura de las EDPs en el proceso de entrenamiento. Así, estos modelos permiten obtener mejores resultados que los basados únicamente en datos, ya que las soluciones obtenidas serán físicamente consIstentes al tener en cuenta la EDP. Estudiaremos la construcción de las PINN y su aplicación a problemas de resolución de EDPs, así como de determinación de parámetros de una EDP a partir de sus soluciones. Finalmente, construiremos varios modelos de PINN que aplicaremos a problemas físicos ilustrativos, basados en la ecuación de Poisson y la ecuación del calor, para comparar su desempeño con el de los métodos numéricos tradicionales.