Simulación Montecarlo del modelo XY bidimensional

Abstract

[ES]Uno de los modelos más importantes en Física Estadística es el modelo de Ising, que a pesar de su simplicidad desarrolla una rica fenomenología. Resulta un pilar básico con el que explicar el comportamiento los materiales magnéticos, pero con el paso del tiempo ha sufrido numerosas modificaciones para tratar de adaptarlo a sistemas físicos más complejos. Una de estas propuestas es el modelo XY, formado por una red de espines individuales que pueden rotar libremente en un plano, que representa con éxito los cambios de fase responsables de la superconductividad y la superfluidez. Vamos a estudiar este modelo a través del análisis de su cambio de fase característico, la transición de Kosterlitz-Thouless. Esta transición es un tanto única, puesto que no conlleva una ruptura de la simetría en el sistema, si no que viene determinada por la aparición de vórtices en la red, que se encuentran acoplados en parejas de vórtice-antivórtice. Cuando se produce el cambio de fase las parejas se desligan, cambiando súbitamente la susceptibilidad magnética y la correlación entre los espines. El objetivo central de este trabajo es comprobar y cuantificar el comportamiento del modelo XY y de su transiciñin, evaluando la dependencia de los resultados con los parñametros del sistema. La herramienta que usamos para conseguirlo es la simulación Montecarlo, empleando el conocido algoritmo de Metrópolis para calcular promedios de varias magnitudes a distintas temperaturas. Los datos obtenidos de la simulación se comparan con la teoría de la transición de Kosterlitz-Thouless y resultados numéricos de la literatura. Además obtenemos estimaciones del valor de la temperatura crítica de transición y otras constantes del sistema.

[EN]One of the most important models in Statistical Physics is the Ising model, which, despite its simplicity, develops a rich phenomenology. It is key to explaining the behaviour of magnetic materials, but over time it has undergone numerous modi cationsin an e ort to adapt it to more complex physical systems. One of these proposals is the XY model, formed by a lattice of individual spins that can freely rotate in a plane, which represents the phase changes responsible for superconductivity and super uidity. We will study this model by analysing its characteristic phase change, the Kosterlitz- Thouless transition. This transition is rather unique, since it does not involve a symmetry breaking within the system, but is determined by the appearance of vortices in the lattice, which are coupled in vortex-antivortex pairs. When the phase change occurs, the pairs unbind, suddenly changing the magnetic susceptibility and the correlation between the spins. The main goal of this work is to verify and quantify the behaviour of the XY model and its transition, evaluating the dependence of the results on the system parameters. The instrument we use to achieve this is the Monte Carlo simulation, using the well-known Metropolis algorithm to calculate averages of several magnitudes at di erent temperatures. The data obtained from the simulation are compared with the Kosterlitz-Thouless transition theory and numerical results from the literature. In addition, we obtain estimates of the value of the critical transition temperature and other system constants.