Métodos de Falkner en modo predictor-corrector para la resolución de problemas de valor inicial de segundo orden (análisis e implementación)

Abstract

[ES] Las ecuaciones diferenciales ordinarias se encuentran presentes en numerosos campos de la ciencia, pues permiten modelizar gran variedad de situaciones donde aparece una evoluci´on temporal o espacial. Pero, lamentablemente, la soluci´on de las ecuaciones que modelizan los fen´omenos s´olo pueden ser obtenidas anal´ıticamente en unos pocos casos. Se hace necesario pues, recurrir a los m´etodos num´ericos (a los que se exigir´a que sean convergentes) para poder encontrar una soluci´on aproximada de un problema de valor inicial dado. Los m´etodos num´ericos que estudiaremos en esta memoria tienen como objetivo encontrar los valores de la soluci´on en una red de puntos, {ti}i∈S, de un intervalo especificado; es lo que se conoce como una soluci´on discreta. En general s´olo podremos obtener valores aproximados de la soluci´on y(t) en los puntos de la red elegida, los cuales denotamos en la forma usual por yi ≃ y(ti). Desde los trabajos pioneros de Adams (1833) o de Runge (1895), el desarrollo de los m´etodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales1 ha experimentado un constante progreso, y actualmente podemos encontrar numerosos paquetes de software que contienen c´odigos de prop´osito general para la integraci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Dado que una ecuaci´on diferencial de orden n de la forma yn) = φ(t, y, y′, . . . , y n−1)) se puede escribir de manera equivalente como un sistema de ecuaciones de primer orden, podr´ıa resolverse el problema aplicando alguno de los c´odigos disponibles para tales sistemas (suponiendo que se conocen los valores de la soluci´on y sus derivadas hasta el orden n − 1 en un punto inicial t0). Ello es perfectamente v´alido y de hecho es un procedimiento usual, pero parece m´as acertado buscar integradores num´ericos que puedan ser aplicados directamente sin tener que transformar la ecuaci´on en el correspondiente sistema equivalente de primer orden. Como se˜nala Henrici [59] con respecto a la llamada ecuaci´on especial de segundo orden, y′′ = f(t, y(t)), si uno no est´a particularmente interesado en los valores de las primeras derivadas, parece antinatural introducirlas artificialmente. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden merecen una consideraci´on especial, ya que aparecen muy a menudo en las ciencias aplicadas. As´ı, por ejemplo la segunda Ley de Newton (que hace intervenir la aceleraci´on, esto es, una derivada segunda) es la base en que se asienta la mec´anica cl´asica, y los problemas de ca´ıda de cuerpos, de movimientos vibratorios, o del movimiento de n masas sometidas a la acci´on de un campo de fuerzas, se plantean por medio de ecuaciones diferenciales de segundo orden (v´ease [7]). Lo mismo sucede en la din´amica orbital, que se ocupa de estudiar el movimiento de dos o m´as cuerpos que sometidos a la acci ´on de fuerzas perturbadoras interact´uan de acuerdo con la Ley de Newton. O con la din´amica molecular, donde macromol´eculas como ´acidos nucleicos o prote´ınas obedecen tambi´en la segunda Ley de Newton, y por tanto, en la descripci´on de las trayectorias intervienen ecuaciones diferenciales de segundo orden ([79]). En un contexto diferente, las oscilaciones el´ectricas en un circuito tambi´en se representan por medio de ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuaci´on de Rouse modela el movimiento de una columna de fluido en un tubo en forma de U ([113], p´ag. 25). Y podr´ıan enumerarse muchos m´as ejemplos donde intervienen ecuaciones diferenciales de segundo orden. Buena prueba de su importancia es el hecho de que muchas de estas ecuaciones tienen nombres propios: ecuaciones de Bessel, de Euler, Legendre, Airy, Duffing, Mathieu, Poisson, van der Pol, Emden, Painlev´e, Dirac, Schr¨odinger, etc´etera.