Inducción en los números racionales: hacia una potencial construcción de los números reales

Abstract

[ES] En este trabajo se desarrolla una teoría axiomática para describir la estructura de los números racionales manifiesta en los árboles de Stern-Brocot y Calkin-Wilf, sentando las bases para una posible construcción alternativa de los números reales. Se construye una teoría de primer orden y una de segundo orden, de las cuales dichos árboles son el modelo estándar. Se añade un esquema de axioma de inducción en primer orden y un axioma de inducción en segundo orden, mismos que permiten hacer inducción en el conjunto de los números racionales positivos. Los axiomas de las teorías son una generalización de los axiomas de Peano con dos funciones sucesor en lugar de una. Se esboza un camino para dar una construcción formal de los números reales a través de conjuntos de números racionales fácilmente identificables en el árbol de Stern-Brocot, señalando sus ventajas sobre las cortaduras de Dedekind.

[EN] This research develops an axiomatic theory suitable to describe the structure of the rational numbers manifest in the Stern-Brocot and Calkin-Wilf trees, setting the path for a possible alternative construction of the real numbers. A first-order theory and a second-order theory are constructed, of which said trees are the standard model. A first-order induction axiom scheme and a second-order induction axiom are added, providing a way to make induction on the set of positive rational numbers. The axioms of the theories are a generalization of the Peano axioms, taking two successor functions instead of one. A path is outlined to give a formal construction

of the real numbers through easily identifiable sets of rational numbers in the Stern- Brocot tree, pointing out its advantages over Dedekind cuts.