Some results on the existence and uniqueness of solutions to the navier-stokes equations

Abstract

[ES]Este trabajo está estructurado como sigue: el segundo capítulo está dedicado a unos resultados preliminares. En el tercer capítulo estu-diamos las ecuaciones del calor, demostrando existencia y unicidad de soluciones para datos iniciales suficientemente regulares. En el cuarto capítulo estudiamos las ecuaciones de Leray y definimos la proyección de Leray, la cual nos permitirá obtener una formulación equivalente a las ecuaciones de Navier-Stokes. Esta formulación es desarrollada en el quinto y último capítulo en el cual se estudian las ecuaciones de Navier-Stokes en cualquier dimensión. En este último capítulo demostramos primero la unicidad de soluciones regulares a las ecuaciones de Navier-Stokes. Después definimos el concepto de solución mild (los cuales son también soluciones débiles) a las ecua-ciones de Navier-Stokes, demostramos que obedecen una condición de estabilidad, existen en un intervalo de tiempo maximal [0, T*) y que si T* es finito entonces las ecuaciones de Navier-Stokes explotan a tiempo T*. Continuamos demostrando que: las soluciones mild son únicas, son regulares si lo son los datos iniciales están globalmente definidas para datos iniciales pequeños. Finalmente, concluimos nuestro trabajo explicando algunas posibles generalizaciones de los resultados previos. Por ejemplo, mostrando como uno puede ampliar la clase de funciones de las soluciones mild dadas en las notas de Tao, pero a la vez obteniendo los resultados antes mencionados.

[EN]The work is structured as follows: the second chapter is dedicated to some preliminary results. In the third chapter we study the heat equations, to which we shall prove existence and uniqueness of solutions for sufficiently regular initial data. The heat equations are closely related to the Navier-Stokes equations and they will provide a key tool for our future study of the Navier-Stokes equations. In the fourth chapter we study the Leray equations and define the Leray projection, which will allow us to obtain an equivalent formulation to the Navier-Stokes equations. This formulation will be developed in the fifth and final chapter which is devoted to the study of the Navier-Stokes equations in any dimension. In this last chapter we shall first prove the uniqueness of smooth solutions to the Navier-Stokes equations. We will then define the concept of mild solutions (which are also weak solutions) to the Navier-Stokes equations, prove that they obey a stability condition, exist on some maximal time interval [0, T*) and that if T* is finite then the Navier Stokes equations ``blow-up'' at time T*. We continue by proving that: mild solutions are unique, are smooth if the initial data is smooth and are globally defined for small initial data. Finally, we conclude our work by discussing some generalizations of the preceding results. Such as showing how one may enlarge the class of mild functions given in the notes of Tao while still obtaining the previously discussed results.