Mathematical Theory in non-linear Diffusion Processes: The Porous Medium Equation

Abstract

[EN]This work is devoted to the study of the asymptotic behaviour of the 1 dimen sional porous medium equation via a unifying argument rooted in Sturmian intersection theory. After considering a rescaling θ of solutions u to the porous medium equation with continuous compactly supported nonnegative initial data, we show uniform convergence of θ(τ ) to the fixed profile FC of the Barenblatt solution with the same mass as u. We also derive a new a priori estimate that allows one to conclude disappearance of critical points of θ(τ ), the boundedness of ∂ξθ(τ ) and the uniform convergence of ∂ξθ(τ ) to F 0 C . We then implement these equations numerically so as to show how solutions in higher dimensions exhibit a similar behaviour.

[ES]Este trabajo está dedicado al estudio del comportamiento asintótico de la ecuación del medio poroso unidimensional a través de un argumento unificador basado en la teoría de intersecciones de sturm. Tras considerar un reescalado theta de las soluciones u de la ecuación de los medios porosos con dato inicial continuo no negativo y compactamente soportados, mostramos la convergencia uniforme de theta al perfil fijo F_C de la solución de barenblatt con la misma masa que u. También derivamos una nueva estimación a priori que permite concluir la desaparición de los puntos críticos espaciales de theta, la acotación de la derivada espacial de theta y la convergencia uniforme de la derivada espacial de theta a la derivada F_C' del perfil fijo. A continuación, implementamos numéricamente estas ecuaciones para mostrar cómo las soluciones en dimensiones superiores presentan un comportamiento similar.