Métodos analíticos para la determinación de estructuras hamiltonianas en algunos sistemas disipativos

Abstract

[ES]El presente trabajo se centra en la determinación de estructuras hamiltonianas en diversos sistemas dinámicos no lineales y/o disipativos mediante el uso de diversos métodos analíticos, en especial las transformaciones de escala. En primer lugar, estudiaremos osciladores amortiguados armónicos y anarmónicos, transformándolos en ecuaciones independientes de la velocidad a través de distintas transformaciones de escala. Así, será posible encontrar una integral primera que podemos interpretar como un Hamiltoniano, y a partir de este último podremos identificar una estructura canónica, tanto para el sistema transformado como para el original. En segundo lugar, analizaremos diversos modelos epidemiológicos, específicamente el modelo SIR y algunas de sus variantes, con el objetivo de encontrar la estructura hamiltoniana subyacente. Para finalizar, estudiaremos la ecuación de Emden modificada como un caso derivado de las ecuaciones de Lotka-Volterra. Consideraremos tres casos distintos según los parámetros que aparecen en esta ecuación y para cada caso, encontraremos su estructura hamiltoniana así como transformaciones canónicas apropiadas.

[EN]The present memoir focuses on determining Hamiltonian structures in diverse nonlinear and/or dissipative dynamical systems using various analytical methods, particularly scaling transformations. Firstly, we will study damped harmonic and anharmonic oscillators, transforming them into velocity-independent equations through different scaling transformations. This procedure allows us to find a first integral that we can interpret as a Hamiltonian and therefore derive a canonical structure for both the transformed system and the original one. Secondly, we will analyze several epidemiological models, specifically the SIR model and some of its variants, with the aim of finding the underlying Hamiltonian structure. Finally, we will study the modified Emden equation as a special case derived from the Lotka-Volterra equations. Three different cases depending on the parameters of the equations arise, and for each case, we will find its Hamiltonian structure as well as appropriate canonical transformations.