Modelos estocásticos en finanzas

Abstract

[ES]En las últimas décadas, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) se han consolidado como una herramienta clave en las finanzas cuantitativas, al permitir modelar rigurosamente la evolución dinámica e incierta de variables económicas. Este trabajo tiene como objetivo ofrecer una introducción general al uso de EDEs en el ámbito de las finanzas. Primero, se presentan los fundamentos del cálculo diferencial estocástico, desde el concepto de proceso estocástico, especialmente el movimiento browniano, hasta la formula de Itô, pilar central de esta teoría. Luego, se aborda la teoría de las EDEs, incluyendo resultados sobre existencia y unicidad de soluciones, la resolución de ecuaciones lineales y la estabilidad de las soluciones. Aunque en muchos casos existe solución teórica para una EDE dada, rara vez es posible obtener una expresión analítica explícita. Por este motivo, se introducen los principales métodos numéricos utilizados para resolver EDEs, tales como el esquema de Euler-Maruyama y variantes más avanzadas, los métodos de Taylor estocásticos, predictor-corrector, etc. Se analizan sus propiedades y limitaciones. Finalmente, se expone la aplicación directa de EDEs en la modelización financiera, explicánndose modelos representativos como el modelo de Black-Scholes, el modelo de Heston para volatilidad estocástica, y modelos de tasas de interés como los de Vasicek y Cox-Ingersoll-Ross (CIR), describiendo sus características, así como propiedades de sus soluciones. Además, se proponen métodos numéricos estocásticos diseñados para proporcionar soluciones aproximadas conservando propiedades esenciales de la solución exacta y se presentan simulaciones numéricas ilustrativas.

[EN]In recent decades, stochastic differential equations (SDEs) have emerged as a cornerstone of quantitative finance, enabling rigorous modeling of the dynamic and uncertain evolution of economic variables. This work provides a comprehensive introduction to the application of SDEs in finance. First, the foundations of stochastic calculus are presented, ranging from stochastic processesparticularly Brownian motion—to Itˆo’s formula, the centerpiece of this theory. Subsequently, the theory of SDEs is addressed, including results on the existence and uniqueness of solutions, the analysis of linear equations, and the stability of solutions. Although theoretical solutions exist for many SDEs, explicit analytical expressions are rarely attainable. Therefore, key numerical methods for solving SDEs are introduced, such as the Euler-Maruyama scheme and other advanced variants (e.g., stochastic Taylor methods, predictor-corrector methods). Their properties and limitations are discussed. Finally, direct applications of SDEs in financial modeling are demonstrated through representative frameworks, including the Black-Scholes model, Heston’s stochastic volatility model, and interest rate models such as Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Their key features and properties of their solutions are described. In addition, stochastic numerical methods-designed to provide approximate solutions while preserving essential properties of the exact solution-are proposed, and illustrative numerical simulations are presented.