Toy-models para describir clásicamente campos de gravitación relativistas de objetos estelares

Abstract

[ES]En este Trabajo Fin de Máster se ha llevado a cabo una revisión bibliográfica del estado actual de la cuestión en torno a la construcción de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein en el vacío, centrando la atención en aquellas pertenecientes a la familia de soluciones estáticas axialsimétricas de Weyl. El objetivo principal ha sido establecer una identificación entre el potencial gravitatorio newtoniano y la función métrica $\psi$ característica de dichas soluciones relativistas, abordando así el problema desde una perspectiva inversa a la tradicional: en lugar de partir de soluciones exactas conocidas para construir modelos simplificados (toy-models), se parte de estos modelos para investigar qué soluciones relativistas generan y cuáles son sus propiedades físicas y geométricas. En este marco, se han propuesto y analizado tres toy-models concretos, obteniendo para cada uno las funciones métricas $\psi$ y $\gamma$ que satisfacen las ecuaciones de campo en el vacío. Las soluciones resultantes han sido caracterizadas mediante sus momentos multipolares relativistas (MMR), lo cual ha permitido interpretar su geometría y determinar el grado de desviación respecto a la simetría esférica de la fuente. Asimismo, se ha estudiado la existencia y forma de los horizontes de sucesos en cada caso, observando que, bajo ciertas condiciones, se obtienen superficies regulares, aunque no siempre bien definidas según el teorema de Israel. Finalmente, se ha planteado una metodología para abordar la suma de las series asociadas a soluciones de la familia de Weyl a partir de un conjunto dado de coeficientes ${a_n}$, relacionando esta cuestión con el problema de los momentos de Hausdorff. Este enfoque permite establecer un criterio sobre la existencia de una función de densidad que reproduzca dicha sucesión, abriendo así una vía para identificar modelos que permitan obtener soluciones relativistas sumables. Esta última línea se plantea como un desarrollo futuro, dado que no ha podido ser abordada en profundidad por limitaciones de tiempo.

[EN]In this Master’s Thesis we have carried out a literature review of the current state of the art in the construction of exact solutions of the Einstein equations in vacuum, focusing on those belonging to the family of axialsymmetric static Weyl solutions. The main objective has been to establish an identification between the Newtonian gravitational potential ϕ and the metric function ψ characteristic of these relativistic solutions, thus approaching the problem from an inverse perspective to the traditional one: instead of starting from known exact solutions to construct simplified models (toy-models), these models are used to investigate which relativistic solutions they generate and what their physical and geometrical properties are. In this framework, three specific toy-models have been proposed and analysed, obtaining for each one the metric functions ψ and γ that satisfy the vacuum field equations. The resulting solutions have been characterised by means of their relativistic multipole moments (MMR), which has allowed us to interpret their geometry and to determine the degree of deviation from the spherical symmetry of the source. Likewise, the existence and shape of the event horizons in each case have been studied, observing that, under certain conditions, regular surfaces are obtained, although not well defined according to Israel’s theorem. Finally, a methodology has been proposed to deal with the sum of the series associated with Weyl family solutions from a given set of {an} coefficients, relating this question to the classical problem of Hausdorff moments. This approach makes it possible to establish a criterion for the existence of a density function that reproduces this succession, thus opening a way to identify models that allow us to obtain summable relativistic solutions. This last line is proposed as a future development, since it has not been possible to address it in depth due to time constraints.